492 CORRESPONDANCE. 1693. 



calcul différentiel produit. J'avois trouve en fuppofant y co nm^' que dy oo 

 yam^dn-]- bnm''—^ dm, mais qu'en fuppofant y co n" ;«*, il vient dy oo 

 00 am^ n"—^ dn -\- bn" ?«^'— ' dm^ je ne le vois pas encore, apparemment par ce 

 que je ne fuis pas affez verfè dans le calcul Exponentiel, qui me paroit difficile et 

 fatigant '*}. 



Pour ce qui eft des fuites pour la quadrature, voicy celle de Mr. Gregori s). 

 Quand l'équation de la courbe ell / oo bx" x (^sx'' + ^)'" l'area eil : 



. , , N,,,,, ^ X ^— ' X X'' + I— " C«— r— i) X ^^ X r-2 X *•'■+ '— 2" 

 ^ -^ mn + r + \ (jnn -t- r + i) x (jnn + r + i — «) 



(n—r— 0. (in—r—\) x ha" x f— 3 x ^'■+ •— 3« 



_j i < ^î ^ _ £[(; 



{jnn +r+ i) ^ (w«« + r + i — «) x (ot« + r+ i — 2«) 



où il faut fcavoir que comme le premier terme eft multiplié par (jx'^ + ^)''' + ', 

 ainfi tous les autres le doivent eftre de mefme. 



Il eft évident que cette feries eft terminée lors que r + i oo « ou oc 2«, ou 



00 3« etc., c'eft-à-dire lorsque eft un nombre entier et pofitif, et qu'alors 



on a la quadrature parfaite. Ce que je vois eftre de mefme dans voftre faconde 



meiU(/«=: — ^. !- ^ = -----^ — -7 , ^- == -, l^ ou, enfin, 



]X«; m — \dm m\/m-\dm\/m vi\/^i ' 



substituant mdy = lydm -j-l tiidm, dn = ^ iii-l dm. 

 ■t) Voici l'histoire de ces vains efforts, telle qu'on la démêle aisément au moyen des pages 47 et 48 

 du Livre]. Sous le titre : „lnventio Regulae Hospitalianae ad diminuendos terminos acqua- 

 tionum differentialium" Huygens y commence des recherches sur la substitution x^=myi, à 

 propos de laquelle il remarque : „a,==;«3ï3, ut transmutetur aequatio. 6 est numerusexpo- 

 nens potestatis louj. Intelligendum quasi ponatur«3x = W3'(î ut servetur homogenea". Ue 

 cette relation x = inyi, il déduit par la méthode exposée dans la note précédente : dm=x: 

 yS — Çx—dx'): (jS — 6yi—i dy^^(^ — dxyO-' dy-^-yOdx') : 312Ô, d'où il suit : dx^yi din-\- 

 -]-6myi-'dy. 



Passant alors au cas plus général x=h'' y'',\\ trouve :^/«^a;« -.yn — {x>i x a 'dx J: 



yH ;y ,. ' dy J = l xa y a ' dy-\ — y ax a ' dxj: y ^ ; relation dont il va 



se servir pour calculer la valeur de dx. Or, à l'endroit marqué par Iluygens avec le signe A, 



ily a une faute de calcul, puisque, au lieu de jf^ , on doit lire *<' , et en conséquence 

 Iluygens n'obtient pas le résultat attendu : (/x = ^«"-' y' //«-)- ^"" ^''~' '^3'- Toutefois la 

 présence même du signe A démontre que I luygens doit s'être aperçu plus tard de sa méprise; 

 mais sans reprendre alors les calculs qui le fatiguaient. 

 ■■') Voir la pièce N°. 2812, vers la fin. 



