5aO CORRESPONDANCE. 1693. 



+ yaaxyy -f- 6^ax^ = aayy et i6y* + \6xxyy—j2axyy — 6/^ax^ = 2jaayy *), 

 qui expriment chacune la nature d'une ligne courbe CM M, dont les touchantes 

 MT font doubles des parties CT de l'axe faites par leur rencontres. Jl en eft 

 ainfi des autres. 



Lorfque la raifon n'eil pas de nombre à nombre; ayant tiré les droites indéfinies 

 AB, DE, qui s'entrecoupent k angles droits au point C, on décrira entre les 

 afymptotes CA, CD, une hyperbole quelconque KOQ, et menant librement AK 

 parallèle à CD qui rencontre l'hyperbole en K, et EF parallèle à CB telle, que 

 le redtangle CEF foit au reftangle CAK, comme la différence des deux lignes/» 

 et q eil à la ligne q : on décrira par le point F entre les afymptotes CB, CE une 

 autre hyperbole FH; on mènera enfuite librement GH parallèle à CB, et prenant 

 CB égale h p + q,on fera comme le quarré de BG eft au quarré de BE, de mefme 

 CA eft à CL, par ou l'on tirera LO parallèle à CD. On prendra enfin l'efpace 

 hyperbolique LPQO (du mefme côté de l'efpace ALOK par rapport à CD, 

 lorfque p furpafie q, et du côté oppofé lorfqu'il eft moindre) égal à l'efpace hy- 

 perbolique EGHF 5) et nommant CP, y, CG, 2, on prolongera PQ en M, de 



forte que PM = —^ ^- — Erj^ jg (jjg q^,e [q point M fera à la courbe cherchée 



CMM. 



Ou bien. Ayant tiré les droites indéfinies AB, DE qui s'entre coupent à angles 

 droits au point C, on décrira entre les afymptotes CA, CD une hyperbole quel- 

 conque KOQ, et menant librement AK parallèle à CD, qui rencontre l'hyper- 

 bole au point K, et EF parallèle à CB telle, que le reétangle CEF foit au reftangle 

 CAK comme p + q eft à ^ : on décrira par le point F entre les afymptotes CB, 

 CE une autre hyperbole FH : On mènera enfuite librement GH parallèle a CB, 

 et prenant CB égale à la différence des deux lignes p et q, on fera comme le 



où c' = iq+py "'V il -P) f-' C. 



C'est seulement dans le cas particulier q =/>, oîi cette substitution est inadmissible, que les 

 deux systèmes d'équations constituent deux solutions différentes. Alors, en effet, le premier 

 système amène le cercle 4/»= (jc^ -)- j=) — C31 = o et le second la droite y = C. 



2) Lisez, dans le dénominateur : 2^, au lieu de ZZ. 



••) Dans ces équations la constante d'intégration se trouve introduite; elles doivent donc être 

 identiques. En effet, la seconde se déduit de la première en remplaçant la constante arbitraire 

 a par — i-ja. Comparez la réponse de Huygens. 



5) Posant CA=/7, CE = ^, CG=:2, cette égalité exige pour/>>-i7, comme pour /><C<7 : 



^ /f 1 (CL : 3-) = (/.— ^) 1 (2 : 3), où CL = « [> + (/> + ^)=] : [2=" + (/> + qf^ On trouve 



donc .T = ^ [^' + O + qy\ / ~f' z'-j' : [2= + (;. + ^)=] = C 2 ^- [2= + C/'+?)]-- 



