534 CORRESPONDANCE. 1693. 



N= 2828. 



Christiaan Huygens au Marquis de l'Hospital. 

 ler OCTOBRE 1693. 



La minute se trome à Leideii, coll. Hiiygeus. 

 Elle a été publiée far P. J. Uylenbroek '). 



La lettre est la réponse au No. 2825. 

 De l'Hospital y ré[>ondit par le No. 2830. 



Sommaire. ') Sa folution eft a ailniircr a caufc du chemin difficile. Bernouli fc trompe en la condamnant 

 comme faufTe. puto polTc rcduci ipfius conftniftioncm ad mcam feu Bernoulianam. apparat 

 quando futura fit geometrica curva nempe quando p — ij vel t; — p ad q ut numerus ad numerum : 

 per logarithm. poffunt aequalia trapezia hyp. abfcindi. Una tantum datur curva quae fatisfaciat, 

 non duae ut putat. Fit enim aequatio ejus prima eadem quae Bemoulij, fi ponatur 108 b, pro a, 

 et dividatur per 432. ma conftruclion. qualis curvae integrac. quomodo in circumferentiam 

 abeunt. et in reftam. ma machine pour la defcription. Flexilis ambitum *). an habet quadra- 



turam lineae y= — -— — ex uuadratura hyperbolae *)? 



). ■' aa + xx ' ' ^ 



A lîi Haye ce i 0&.. 1693, 



J'ay efté econnè, Monfieur, de voir que par le chemin que vous avez pris on 

 pouvoir audl parvenir à la folution du Problème de Mr. Bernouili, et j'ay admiré 

 vos excellents artifices, qu'il y a falu emploier, où il y a bien des chofes, qui peu- 

 vent fervir en d'autres occafions, et fur les quelles j'auray à vous confulter cy-apres 

 quand j'auray le loifir de les examiner a fonds. Mr. Bernouilli fe trompe aiïiire- 

 ment, quand il foutient que voftre folution n'ert pas bonne, ertant certain, que 

 toutes vos deux équations s'accordent avec la fiene s). Je dis toutes les deux, par 

 ce que fi dans la ire^ l'on fuppofe 108 ^00^, et qu'on divife après par 432, on 



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') Chr. Hugenii etc. Exercitationes Mathematicae, Fasc. I, pag. 296. 



') Ce sommaire est emprunté à la page 63 du Livre J. 



^) Comparez l'anagramme de h fin de la pièce N°. 2823 et la fin de la présente pièce. 



♦) Nous n'avons pas trouvé cette quadrature dans les manuscrits de Huygens. On remarquera 

 que la question n'a pas été traitée dans la lettre. 



En outre Huygens s'était assuré, h la page 62 du Livre J, de l'identité des solutions de Ber- 

 nouili et de l'Hospital avec celle de Jacques Bernouili pour le cas particulier/" = 2^. Posant, 

 dans la figure 3 de la pièce N°. 2821, AD = .v, CD = 3, CG = s, on trouve facilement 

 (appliquant la formule de l'avant-dernière ligne du § IV de la même pièce où l'on doit rem- 

 placer 2^ par z et où z représente, après changement de signe, laligne DG) DG = (az — 2'): 



:((7-|-3), donc a: = (/72— 2°) :(<z-f-2)-f- - 2, ou bien 2" == 3^2 — 2/7x — 2xz. 



D'un autre côté on a 2^ — y" = GD" = (x 2)=, donc s^ ^ — -^ .rz 4- 4 jfS _J_ 4 ^2. 



En égalant ces deux expressions pour 2-, Huygens trouve aisément 2 = (6-7.v -4-4*" + 43'^)= 

 :(9.»~2a-); après quoi la substitution dans la seconde expression pour 2' amène l'équation 



