542 CORRESPONDANCE. 1693. 



feul cas, mais tranfcendante dans une infinité d'autres. le vous en donneray pre- 

 mièrement l'exemple le plus fimple '''). Soit:r= lady.a — v.,(^i) ou dx= adv : 



: (^ — v), (2) il eft manifefte que la lettre x fignifie une grandeur qui eft comme 

 le logarithme, pofé qu'^ — v foit le nombre. Car cela dépend de la quadrature de 

 l'Hyperbole ou de la defcription de la ligne Logarithmique. Cela pofé, je dis que 

 la ligne, dont l'équation el}:yy = aa -+■ aax — xx — ay (3) ''), fatisfait au pro- 

 blème, et il eft manifefte que cette ligne fe peut conftruire, fuppofita Hypcrbolae 

 quadratura. Voicy comment ie prouve maintenant le fuccés par le calcul diffé- 

 rentiel. Apres avoir difFerentié l'équation 3, je trouve a^j^jrr: 2(2d'.r — 2xdx — 

 — ady Ç^y, dont oftant ^v par l'équation 2 il y aura iydy=.iadx — ixdx — 

 ■ — adx+ vdxÇ^'). Et par cette dernière, jointe à l'équation 3 oftant v, il y aura 

 enfin yydx-=:aadx + zaxdx — xxdx — zaydy + 2aadx — iaxdx — aadx, ou 

 bien, après les deftruélions dijes : yydx + xxdx + '2.aydy = laadx (6) ce qu'il 

 falloit faire; car il eft manifefte que dx : dy:= lay :, laa — yy — xx c'eft à dire 

 que la fouftangente eft layy.^iaa — yy — xx. La même chofe reuflit dans une 

 infinité d'autres lignes prenant l'arbitraire», et difant:3?3'=:;7^+2dfx — xx — w''). 

 Mais n' eftant égal à rien, il en provient le cercle. Quant aux ddx^ j'en ay eu fou 

 vent befoin elles font aux ^at, comme les conatiis de la pefanteur ou les folicita 

 tions centrifugues font à la viteffe. M. Bernoulli marque dans les Aéles de Leipzig 

 de l'année pafl"ée p. 202 de les avoir employées pour les lignes des voiles -°}. Et 

 ie les avois deiâ employées pour le mouvement des aftres dans les mêmes aéles "). 

 Au refte comme vous avés de la peine à fouffrir, Monfieur, que ie penfe fouvent 



''') Ici Leibniz note en marge : dx^^ • 



'^) On trouve à la page 85 du Livre J une construction très simple de cette courbe au moyen de 

 la logarithmique. Ensuite Huygens y vérifie les calculs de Leibniz et il ajoute : „Hic novum 

 est quod in aequatione curvae (3) sunt tresincognitae; quodquehuicdifferentialem aequa- 

 tionem invenit (4). Ex qna deinde egregie éliminât dv, et v. Examinandae aliae curvae hoc 

 modo compositae". 



'9) Nous écririons : y = lax — x- -\- nae " , solution correcte et générale de l'équation difFé- 



dx 

 rentielle : y -j = laf- : {jia- — y — jc'). 



"°) Dans l'article en question, que nous avons cité dans la note 25 de la Lettre N°. 2819, Jacques 

 Bernoulli exprime comme il suit la propriété fondamentale de la courbe de la voile „Sumtis 

 aequalibus curvae portiunculis, Cubi ex primis difïerentiis ordinatarum sunt proportionales 

 secundis differentiis abscissarum". 



°' ) Dans ceux de février 1689; comparez la note 10 de la Lettre N°. 2601. 



