CORRESPONDANCE. 1694. 625 



point de l'axe E, efl oo -'[/^(a^'ixx'^'"—") '^^^que l'on voit facilement devenir 



infiniment petite en appetiiïant x, lorfqiie aw eft plus grand qiie«,et au contraire 



infiniment longue, quand 2m cil plus petit que n. Ces 

 courbes ont un fommet lors que l'expofant m eil impair 

 et « pair, mais un point d'inflexion contraire lors que m 

 et « font impairs")^*). Je crois que voflire demonilra- 

 tion ne différera point de celle-cy. 



Je fuis bien aife de ce que vous jugez comme moy 

 du titre trop faftueux du Problème de Mr. Leibnitz, qui 

 regarde les Traéloriae =7). Je luy ay mandé ''^), que je 

 ne trouve point qu'il ait avancé par là la quadrature 

 des courbes, parce qu'on ne fcauroit parvenir à aucune 

 exaélitude en décrivant les courbes par fa manière 

 embaraffante. J'edime bien plus ''>) la folution qu'il m'envoia il y a quelque 

 temps 3°) touchant la courbe qui convient à la fouilangente déguifée 



^- , qui eft l'une des trois que je vous ay propofée cy-devant^'). Il 



°5) Nous n'avons pas rencontré la déduction de cette formule dans les manuscrits de Huygens, 

 mais de quelques petits calculs qui se trouvent à la page 66 du Livre J il résulte que Huygens 

 a dû commencer par établir l'expression nx:m pour la soustanj^ente BA, ce qui lui a été 

 facile puisque sa règle, mentionnée dans la note 3 de la pièce N°. 2612, amenait immédiate- 

 ment l'expression ny" : ma'' x'"—', oi\ y" ■= a'' x'". Ensuite la proportion : AB : BC = 

 ■ =BC : BD lui donnait BD = wj/° -.nx, d'où l'on tire facilement l'expression du texte. 



En effet, à cette page 66 la sousnormale est calculée dans les cas particuliers i?^' = ■y'*, 

 aax=y^ et aax'^=y^ de la manière décrite, c'est-à-dire, en partant de l'expression «^:w 

 comme d'une formule connue. A propos du premier cas, où BD = 7. X/^ax, Huygens ajoute 

 encore : „non habet circuli circumferentiam in vertice intus tangentem, etsi ex utraque 



diametri parte aequaliter jaceat"; à propos du second, où BD= 'IA)^a*x—' „BD fit infi- 

 nité longa"; et à propos du troisième, où BD=Vb l/^«* a: „BD fit infinité parva. quamvis 



„CEH" [voir la figure du texte en ajoutant la lettre H à l'autre extrémité de la courbe] 



„habeat flexus contrarios". 

 -*) A la page 66, mentionnée dans la note précédente, Huygens dessine les paraboloïdes ax^ = 



=y'^, aax = y^, a'^xx=y^, axx=y'^, aax'^ =y', <?x5=y*, ax'^^:=y'<, a^x^=y^, et ax^ = y^ 



pour observer leurs sommets et leurs points d'inflexion ou de rebroussement. 

 ''') Consultez, sur le titre de cet ouvrage, la note 6 de la pièce N°. 2824, et comparez la Lettre 



N°. 2842 à la page 578. 

 -^) Dans la Lettre N°. 2854 à la page 611. 

 ■^) Comparez la même Lettre N°. 2854 à la page 61 o. 

 '°) Dans la Lettre N°. 2829 aux pages 54 1 et 542. 

 3') Consultez la note 22 de la Lettre N°. 2822. Il s'agit, comme on le voit, du troisième exemple 



qu'on y trouve mentionné. 



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