Erste Periode. Angewandfces Rechnen. 27 



Neben dem praktischen Rechnen hergehend zeigen 

 sich schon wiederholt Spuren zahlen theor etischer Be- 

 trachtungen. Die Aegypter waren imstande, die Teil- 

 barkeit einer Zahl durch 2 zu erkennen. Die Pythagoraer 

 unterschieden gerade und ungerade, befreundete, vollkoramene, 

 uberschiessende und raangelhafte Zahlen 16 ). Von 2 befreundeten 

 Zahlen musste jede gleich der Summe der aliquoten Teile der 

 andern sein (220 = 1 + 2 + 4+5+10+11+ 20+22 

 + 44 + 55 + 110 = 284, und284 = 1 + 2 + 4 + 71 + 142). 

 Eine vollkoramene Zahl war gleich der Summe ihrer aliquoten 

 Teile (6=1+2 + 3). War die Summe der aliquoten Teile 

 grosser oder kleiner als die Zahl selbst, so nannte man letz- 

 tere uberschiessend oder mangelhaft (8 > 1 + 2 + 4; 12<1 

 + 2 + 3 + 4 + 6). Ausserdem hat Euklid iiber Teilbar- 

 keit, uber das grosste gemeinschaftliche Mass und das kleinste 

 Gem einvielf ache von seinem geometrischen Standpunkt aus- 

 gehend griindliche Untersuchungen angestellt. Den Indern 

 war die Neunerprobe und das Kettenbruchverfahren bekannt ; 

 von ihnen ging dieses Wissen zu den Arabern iiber. So 

 unscheinbar diese Anfange in ihrem antiken Gewande sein 

 mogen, so tragen sie doch schon den Keim der grossartigen 

 Entwicklung in sich , den das 19. Jahrhundert der Zahlen- 

 theorie gebracht hat. 



C. Zweite Periode. Vom 8. bis 14. Jahrhundert. 



1. Das Rechnen mit ganzen Zahlen. 



In den Klosterschulen, den Episkopal- und Privatschulen der 

 Merovinger und Karolinger Zeit waren es wohl ausschliesslich 

 Monche, welche den Unterricht leiteten. Die eigentlichen 

 Klosterschulen hatten haufig nur geringe Bedeutung fur die 

 Forderung mathematischen Wissens; dagegen scheinen die 

 bischoflichen und Privatschulen , letztere nach italienischem 

 Muster eingerichtet , sehr segensreich gewirkt zu haben 42 ). 

 Der erste , welcher von arithmetischem Wissen der Monche 



