Dritte Periode. Das Rechnen mit ganzen Zahlen. 35 



Im Zifferrechnen unterschieden die Rechner des 16. 

 Jahrhunderts meist mehr als 4 Operationen; einige zahlten 

 deren 9, nemlich die 8 von Peurbach genannten und dazu 

 als 9. Operation das Radizieren, das Ausziehen der Quadrat- 

 wurzel nach der Formel (a + &) 2 = a 2 + 2ab+ & 2 , das Ausziehen 

 der Kubikwurzel nach (a + b) z = a 6 4- (a + 6)3a& + b*. Defi- 

 nitionen kamen vor, waren aber vielfach nur Umschreibungen. 

 So sagt Grammateus : Multiplicatio oder Mehrung beschreibt 

 ein zal durcb die andere multipliciren oder mehren. Sub- 

 tractio oder Abziehung offenbart die zal zu subtrahiren oder 

 ziehen ein zal von der andern, dass da werde gesehen die 

 vbrig ). 



Die Addition fand statt wie heutzutage. Beim Ab- 

 ziehen pflegte man fur den Fall einer grosseren Subtra- 

 hendenziffer in Deutschland diese Ziffer zu 10 zu erganzen 

 und zur Minuendenziffer zu legen, gleichzeitig aber die be- 

 nachbarte Subtrahendenziffer hoherer Ordnung um 1 zu ver- 

 mehren (Zuzahlmethode Fibonacci's). In ausfuhrlicheren 

 Btichern wurde fur diesen Fall auch das Entlehnen gelehrt. Die 

 Multiplikation, der stets die Einiibung des Einmaleins voran- 

 ging, erfolgte in mannigfacher Weise. Am haufigsten multi- 

 plizierte man wie heute mit treppenixirmigem Einriicken nach 

 links. Luca Pacioli schildert 8 Multiplikationsarten, worunter 

 die eben erwahnte, dann zwei altindische ; die eine ist die auf 

 Seite 22 dargestellte, die andere die kreuz- oder blitzartige. Bei 

 letzterem Verfahren bildete man alle Produkte mit Einern, 

 alle mit Zehnern, alle mit Hundertern. Die Multiplikation 

 243. 139 =-9. 3 -f 10(9.4 -f 3. 3) + 100 (9. 2 + 3. 4+ 1.3) 



4- 1000 (2 . 3 -f 1 . 4) + 10 000 . 2 . 1 

 hatte in der Darstellung die Form: 



2 4, 3 



