Erste Periode. Allgemeine Arithmetik. 51 



so wird das Quadrat uber der Strecke DE = n Einheiten 

 zum Quadrat tiber BC = n -f 1 durch das Quadrat (BE) = 1 . 1 



A F 



und die Rechtecke (AE) = (CE) = 1 . n erganzt, da man hat : 

 n* -f 2n + 1 = (n + I) 2 . - - Fur die stete Verwendung geo- 

 metrischer Versinnlichung sprechen auch Ausdriicke wie 

 Flachen- und Korperzahlen als Produkte der Mass- 

 zahlen von Raumgrossen mit zwei und drei Dimensio nen. 



Was bis zum 3. Jahrhundert vor Christo in der Zahlen- 



lehre bekannt war, fasst Euklid ubersichtlich zusammen. Er 



spricht in seinen Elementen von Grossen, ohne jedoch 



diesen Begriff zu erklaren, und versteht darunter ausser 



Linien, Winkeln, Flachen und Korpern auch die natiirlichen 



Zahlen 108 ). Der Unterschied von grad und ungerade, von 



Primzahlen und zusammengesetzten Zahlen, das Verfahren zur 



Bestimmung des kleinsten Gemeinvielfachen und des grossten 



gemeinschaftlichen Masses , die Erstellung rationaler recht- 



winckliger Dreiecke nach Platon und den Pythagoraern alle 



diese Dinge sind ihm gelaufig. Won Eratosthenes riihrt ein 



Verfahren (das Sieb) zur Aussonderung der Primzahlen her; 



es besteht darin, dass man von 3 ab alle ungeraden Zahlen 



aufschreibt und dann alle Vielfachen von 3, 5, 7, ... streicht. 



Diophant gibt an , dass Zahlen von der Form a 2 -f 2ab -f & 2 



ein Quadrat bilden, aber auch , dass solche von der Form 



(a 2 + 6 2 ) .(c 2 + <P) auf zweierlei Weise eine Summe von 2 



Quadraten darstellen konnen ; es ist nemlich (ac + bd)* 



+ (ad be)* = (ac bd) 2 -f (ad + be) 9 = (a* + b) 2 (c 2 -f d)*. 



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