52 HI. AUgemeine Arithmetik und Algebra. 



Ziemlich umfangreich 1st das Wissen der Griechen im 

 Gebiet elementarer Reihen. Die Pythagoraer gehen 

 von den Reihen der geraden und ungeraden Zahlen aus. Die 

 Summe der natfirlichen Zahlen gibt ihnen dieDreieckszahl, 

 die Summe der ungeraden Zahlen die Quadr atzah 1, die 

 Summe der geraden Zahlen die heteromeke Zahl von 

 der Form n(n+l). Die Quadratzahl erzeugen sie auch als 

 Summe zweier benachbarten Dreieckszahlen. Die Neupytha- 

 goraer und Neuplatoniker betrachten nicht nur Polygonal-, 

 sondern auch Py r a m i d a 1 zahlen. Ueber geome tr ische 

 Reihen schreibt Euklid in seinen Elementen. Er summiert 

 einen Ausschnitt der Reihe 1 -f- 2 -f 4 + 8 . . . und bemerkt 

 nebenbei, dass wenn die Summe dieser Reihe eine Primzahl 

 ist, aus ihr eine vollkommene Zahl durch Multiplikation 

 mit dem letzten Glied der Reihe hervorgeht (1+2 + 4=7; 

 7.4 = 28; 28 = 1 + 2 -f 4 + 7 + 14, vergl. S.27). Konver- 

 gente unendliche Reihen treten bei Archimedes in der 

 Form geometrischer Reihen, deren Exponent ein echter Bruch 

 ist, wiederholt auf, beispielsweise in der Bestimmung des 

 Flacheninhalts eines Parabelsegments, wo der Wert der Reihe 

 1 + i -f Jg- -f . . = J gefunden wird. Ueberhaupt fiihrt Archi- 

 medes zum Zweck der Berechnung von Flachen- und Raum- 

 inhalten eine Menge Wertbestimmungen fur die Summe un- 

 endlicher Reihen aus; seine Methoden sind ihm ein Ersatz 

 fttr die in solchen Fallen anwendbaren Integrationsmethoden 

 der Neuzeit, so dass ihm Ausdriicke wie 



*c /*c 



x doc % c 2 , / x z dx J c 8 



"b 



und ahnliche ihrem Gehalt und Wesen nach vollig gelaufig 

 sind 124 ). 



Die Einfiihrung des Irrationalen ist auf Pythagoras 

 zuruckzufiihren , da er erkannte , dass die Hypotenuse 

 eines rechtwinklig gleichschenkligen Dreiecks mit messbaren, 

 also benennbaren Katheten unbenennbar sei. Der Pythago- 



