Erste Periode. Allgemeine Arithmetik. 53 



raer Theodorus von Kyrene beweist die Irrationalitat der 

 Quadratwurzeln aus 3, 5, 7, ... 17. 



Archytas teilt die Zahlen iiberhaupt in rationale und ir- 

 rationale ein. EuTdid widmet den irrationalen Grossen eine 

 ganz besonders eingehende Untersuchung in seinen Elemen- 

 ten, welche ebensosehr der Arithmetik wie der Geometrie 

 angehoren. Drei Bucher unter den dreizehn, das 7., 8. und 

 9. Buch , sind rein arithmetischen Inhalts , und im zehnten 

 Buch erscheint eine tief durchdachte Theorie der Inkom- 

 mensurabeln, d. h. der irrationalen Grossen, an deren Stelle 

 die Betrachtung geometrischer Verhaltnisse tritt. Am 

 Schluss dieses Buches zeigt EMid auf sehr sinnreiche Weise, 

 dass die Seite eines Quadrats und seine Diagonale inkommen- 

 surable Grossen sind; der Beweis gipfelt in der Auf- 

 stellung, dass fur den Fall eines rationalen Verhaltnisses 

 dieser zwei Grossen eine Zahl gleichzeitig die Eigenschaft 

 der geraden und ungeraden Zahlen haben musste*). 

 Archimed berechnet in seiner Kreismessung eine ziemliche 

 Anzahl von Naherungswerten fur Quadratwurzeln, z. B. 

 1351 



/ ^ > 

 d ^ 



ohne dass iiber den von ihm bentitzten Weg etwas sicheres bekannt 

 geworden ware. Auch Heron kennt solche Naherungswerte 

 (| statt y/2", || statt y/3~); er scheut durchaus nicht vor 

 der Miihe, eine Quadratwurzel angenahert zu bestimmen, zu- 

 riick, begniigt sich aber in den meisten Fallen mit der be- 

 kannten Naherung y^a 2 + b = cHb^. So setzt er y/63 = 

 y/8 2 1 =8 T ^. Fur den Fall, dass grossere Genauigkeit 

 erforderlich war, suchte Heron **) eine Formel von der Gestalt 



*) Montucla I, S. 208. Montucla sagt, dass er einen Archi- 

 tekten gekannt habe, welcher der festen Zuversicht lebte, die s/jfals 

 ein Verhaltnis endlicher ganzer Zahlen darzustellen zu konnen und der 

 versicherte, er sei auf diesem Wege schon zur 100. Dezimale gediehen. 



*') Tannery in Bord. Mem. IV (1881). 



