54 HI. Allgemeine Arithmetik und Algebra. 



\a 2 + b = 0++-p + 7 + . . . aufzustellen. Gelegentlich wird 

 von ihm auch die Identit'at ^a^b a^b benutzt ;er findetzB. 

 y/108 = y/GTs = 6 ^ = 6 . If = 10 + J + T V Ausserdem findet 

 sich in Herons Stereometrica das erste Beispiel einer Quadrat- 

 wurzel aus einer negativen Zahl, nemlich %/81 144, welche aber 

 vomRechner ohne weiteres als 8 weniger y 1 ^- eingesetzt wird, 

 iibereinstimmend mit der Thatsache, dass bei den Griechen 

 negative Grossen unbekannt waren. Diophant 

 rechnet wohl mit Differenzen, aber nnr mit solchen, in wel- 

 chen der Minuend grosser als der Subtrahend ist. Ein 

 anderes Verfahren, die Quadratwurzel auszuziehen, ist aus Theon 

 bekannt ; es stimmt mit dem heutzutage gebrauchlichen 

 uberein, nur benutzt es, wie dies bis zur Entwicklung der 

 Dezimalbriiche iiblich blieb, die babylonischen Sexagesimal- 

 briiche. 



Ausserdem findet man bei Aristoteles Spuren der K o m- 

 binatorik, und bei Archimedes einen Versuch der Dar- 

 stellung einer Grosse, die tiber alle Grenzen hinaus wachst, 

 zunachst durch seine Erweiter un gdesZahlensystems, 

 dann durch seine Sandrechnung. Archimedes fasst die 

 acht ersten Rangordnungen des dekadischen Systems zu einer 

 Oktade zusammen; 10000.10000 Oktaden bilden eine Pe- 

 riode, und diese Perioden werden wieder nach demselben 

 Gesetz zusammengeordnet. In der Sandrechnung lost Archi- 

 medes die Aufgabe, die Zahl der Sandkorner zu bestimmen, 

 welche eine Kugel fassen kann , die das ganze Weltall ein- 

 schliesst. Er setzt dabei voraus , dass 10 000 Sandkorner 

 erst den Raum eines Mohnkornes einnehmen, und findet als 

 Gesamtzahl aller Korner 1000 Myriaden derachten Periode seines 

 Systems. Es ist moglich, dass Archimedes bei diesen Be- 

 trachtungen von der Absicht geleitet wurde, dem Gebiet 

 beliebig kleiner Grossen, die in seinen Reihensummierungen 

 auftraten, ein Gegenstuck zu schaffen, das allerdings gewohn- 

 licher Rechnung nicht mehr zuganglich war. 



