60 HI. Allgemeine Arithmetik und Algebra. 



die Gestalt von Proportionen, und dieses Hilfsmittel zu Ope- 

 rationen im Gebiet einer geometrischen Algebra war den 

 Griechen sehr geliiufig. Sie verstanden zweifellos Gleichungen 

 von der Form 



a a' V 



-ff x = b, ^T,x +jr,y + . . . = m, 



wo alle Grossen linear sind, durch Figuren darzustellen. Jede 

 Aufstellung von Mittelgrossen in zwei gleichen Verh'altnissen 

 oder einer Proportion bestand eigentlich in nichts anderem 

 als in der Losung einer Gleichung. Die Schule der Pytha- 

 goraer kannte das arithmetische, geometrische und harmonische 

 Mittel zweier Grossen, d. h. sie loste geometrisch die Glei- 

 chungen 



a -f b 7 2ab 



x* , x * = ab,x=^ l . 



Nach Nikomachus hat Philolaus den Wiirfel mit seinen 6 

 Flachen, 8 Ecken und 12 Kanten die geometrische Harmonie 

 genannt, weil er nach alien Richtungen gleiche Abmessungen 

 darbiete ; daraus soil der Name harmonisches Mittel, harmo- 

 nische Proportion abgeleitet worden sein; in der That ist 

 12 8 _12 _ 2.6. 12 



8 6 ~ 6 = 6+12' 



Die Zahl der verschiedenen Proportionen wurde sp'ater bis 

 auf zehn vermehrt, ohne dass allerdings dadurch wesentlich 

 neues geleistet worden ware. Grundliche Auseinandersetzungen 

 uber die Proportionen, d. h. uber die geometrische Losung 

 von Gleichungen ersten Grads und von rein quadratischen 

 Gleichungen, gibt EuJclid^ zunachst nicht als Frucht eigener 

 Arbeit, sondern als Bericht uber ausfuhrliche Darlegungen, 

 die dem Eudoxus zu verdanken sind. 



Eine ganz hervorragende Beachtung verdient die Losung 

 der Gleichung zweiten Grads auf geometrischem 

 Weg durch dieFlachenanlegung, welche bei den Alten , 

 besonders bei EuMid, eine ausgedehnte Verwendung fand. 



