Zweite Periode. Allgemeine Arithmetik. 81 



Diese magischen Quadrate sind schachbrettartige Figuren, in 

 welche die Glieder einer arithmetisclien Reihe so eingeordnet werden. 

 dass die Summe der in einer Zeile, Reihe oder Diagonale stehenden 

 Zahlen immer dieselbe wird. Ein magisches Quadrat mit ungerader 

 Stellenzahl, das leichter als ein solches mit gerader Felderzahl zu kon- 

 struieren ist, kann man folgendermassen erhalten: Man setze die 1 

 unter die mittelste Zelle und die iibrigen Zahlen in ihrer natiirlichen 

 Reihenfolge diagonal in die leeren Felder. Stosst man auf eine schon 

 besetzte Zelle, so gehe man in senkrechter Richtung um zwei Felder 

 herab n6 ). Vielleicht sind die magischen Quadrate schon bei den 

 Indern bekannt gewesen ; jedoch gibt es keine sicheren Biirgschaften 

 dafiir 7T ). Moschopulus ist der erste bekannte Autor, der fiber Zauberqua- 

 drate geschrieben hat. Er gibt zur Herstellung dieser Gebilde be- 

 stimmte Regeln , welche viel spater durch Lahire und Mollweide 

 weiteie Verbreitung gefunden haben. Fur das Mittelalter waren die 

 Zauberquadrate ein Stuck der sehr verbreiteten Zahlenmystik. Erst 

 Stifel betrachtete sie vom Standpunkt seiner Wissenschaft aus; aber 

 weder er noch Adam Biese vermochten ein einfaches Verfahren zur 

 Aufstellung der magischen Quadrate anzugeben. Man darf jedoch 

 annehmen, dass einigen dentschen Mathematikern gegen Ende des 

 16. Jahrhunderts (z. B. dem Niirnberger Rechenmeister Peter Moth) 

 solche Regeln bekannt waren 39 ). Im Jahr 1613 veroffentlichte Sachet 

 in seinen Problemes plaisants* eine allgemeine Methode fur die 

 Quadrate von ungerader Seitenzahl, gestand aber ausdriicklich ein, dass 

 es ihm nicht gelungen sei, die Aufgabe fur die geraden Seitenzahlen zu 

 losen 77 ). Erst Frenide kam wesentlich liber Sachet hinaus. Er gab 

 (1693) Regeln fur ungerade und gerade Quadrate; ja er erfand sogar 

 solche Quadrate, welche nach Streichung der ausseren Reihen magische 

 Quadrate bleiben. Die fruher zerstreuten Regeln sammelte Moll- 

 weide 1816 in einer Schrift (de qnadratis magicis), welche sich durch 

 einfache und wissenschaftlich-iibersichtliche Darstellung auszeichnet. 

 Neuere Arbeiten rlihren her von Hugel (Ansbach 1859), von Pessl 

 (Amberg 1872), der einen magischen Zylinder bttrachtet, und von 

 Thompson (Quart. Journ. X), durch dessen Regeln das Zauberquadrat 

 mit der Seitenzahl pn aus dem von der Seite n abgeleitet wird 39 ). 



2. Algebra. 



Gegen Ende des Mittelalters stellt sich dem gemeinen 

 Rechnen (Ars minor) die Ars major, Arte maggiore, Algebra 

 oderCoss gegenuber 114 ). Die Italiener nennen die Lehre von 



Fink, Geach. der Eleraentarmathematik. Q 



