Dritte Periode. Die irrationals Zahl. 



Diesen direkten oder thetischen Operationen entsprechen als 

 inverse oder lytische Rechnungsverfahren die Subtraktion 

 und die Division; ihre Anwendung auf alle natiirlichen Zahlen 

 notigt zur Einfiihrung der Null, der negativen und gebro- 

 chenen Zahlen, welche im Verein mit den natiirlichen Zahlen 

 den grossen Korper der rationalen Zahlen bilden , innerhalb 

 dessen alle vier Grundoperationen unbeschr'ankte Giiltigkeit 

 besitzen, wenn der eine Fall der Division mit Null ausge- 

 schlossen wird. 



Die Erweiterung des arithmetischen Gebiets durch Ein- 

 fuhrung der negativen Grossen hatte im 1 6. Jahrhundert 

 begonnen. Vieta unterschied affirmative (positive) und nega- 

 tive Grossen. Aber erst Descartes wagte es, in seiner Geo- 

 metrie einen und denselben Buchstaben sowohl fur positive 

 als fur negative Zahlen werte in die Rechnung einzufuhren. 



Das Irrationale war durch Euklid auf Grund geo- 

 metrischer Ueberlegungen dem mathematischen System ein- 

 verleibt worden ; seine Auffassung erhielt sich wahrend aller 

 folgenden Jahrhunderte, und erst in neuester Zeit 108 ) ist 

 durch Forschungen von Weierstrass, Dedekind, G. Cantor und 

 Heine eine Theorie der irrationalen Zahlen auf arithmetischem 

 Boden geschaffen worden. 



Weierstrass 61 ) geht vom BegrifF der ganzen Zahl aus. 

 Eine Zahlengrosse besteht aus einer ReihegleichartigerDinge; 

 die Zahl ist also nichts anderes als die zusammengesetzte 

 Vorstellung von Eins und Eins und Eins etc. 89 ). Durch 

 Subtraktion und Division gelangt man zu negativen und ge- 

 brochenen Zahlen. Unter den letzteren gibt es solche, die 

 auf ein bestimmtes System, z. B. auf unser dekadisches 

 Zahlensystem bezogen , aus unendlich vielen Elementen be- 

 stehen, und doch durch Transformation andern, aus einer 

 endlichen Anzahl von Elementen zusammengesetzten Zahlen 

 gleichwertig werden (0,1333 ... = T \). Diese Zahlen sind 

 noch einer Veranschaulichung fahig. Es kann aber bewiesen 



