92 HI. Allgemeiue Arithmetik und Algebra. 



werden, dass jede aus unendlich vielen Elementen bekannter 

 Art gebildete Zahl, welche jene Elemente in bekannter end- 

 licher Anzahl enthalt, eine ganz bestimmte Bedeutung hat, 

 mag sie einer wirklichen Deutung fahig sein oder nicht. 

 Wenn eine derartige Zahl nur durch die unendliche Reihe 

 ihrer Elemente und nicht auf andere Weise vorgestelit 

 werden kann, so ist sie eine irrationale Zahl. 



Dedekind**) ordnet alle positiven und negativen, 

 ganzen und gebrochenen , also alle rationale!! Zahlen 

 nach ihrer Grosse in ein System oder einen Zahlenkorper E 

 zusammen. Eine bestimmte Zahl a zerlegt dieses System R 

 in die zwei Klassen A\ und Az init je unendlich vielen Zahlen, 

 so dass jede Zahl in Ai kleiner ist als jede Zahl in Az ; a 

 ist entweder die grosste Zahl in Ai oder die kleinste in At. 

 Diese rationalen Zahlen konnen den Punkten einer Geraden 

 eindeutig zugeordnet werden. Dabei stellt sich heraus, dass 

 diese Gerade ausser den von rationalen Zahlen uberdeckten 

 Punkten noch unendlich viele andere Punkte enthalt; d. h. 

 das System der rationalen Zahlen hat nicht dieselbe Stetig- 

 keit wie die Gerade, und erhalt sie erst durch Schaffung 

 neuer Zahlen. - - Das Wesen der Stetigkeit findet Dedekind 

 in folgendem Axiom : Zerfallen alle Punkte der Geraden in 

 zwei Klassen von der Art, dass jeder Punkt der ersten Klasse 

 links von jedem Punkt der zweiten Klasse liegt, so existiert 

 ein und nur ein Punkt, welcher diese Einteilung aller Punkte 

 in zwei Klassen, diese Zerschneidung der Geraden in zwei 

 Stiicke hervorbringt. Auf dieser Annahme fussend gelingt 

 es , die neuen , die irrationalen Zahlen zu schaffen. 

 Eine rationale Zahl a erzeugt einen Schnitt (Ai\Az), be- 

 stehend aus Ai und A 2, mit der charakteristischen Eigen- 

 schaft, dass es in A\ eine grosste, oder in Az eine kleinste 

 Zahl a gibt. Jedem der unendlich vielen Punkte der Geraden, 

 welche nicht von rationalen Zahlen belegt sind, oder in welchen 

 die Gerade nicht von einer rationalen Zahl geschnitten wird, 



