Dritte Periode. Die irrationale Zahl. 93 



entspricht ein und nur ein Schnitt (^4.i|^2), und jeder dieser 

 Schnitte definiert eine und nur eine irrationale Zahl a. 



Diesen Unterscheidungen zufolge bildet das System R aller re- 

 ellen Zahlen ein wohlgeordnetes Gebiet von einer Dimension ; hiermit 

 soil weiter nichts gesagt sein, als dass folgende Gesetze herrschen 24 ) : 



I. 1st a ^> p, und p ^> y, so ist auch a ^> y. Wir wollen sagen, 

 dass die Zahl p zwischen den Zahlen a, y liegt. 



II. Sind a, y zwei verschiedene Zahlen , so gibt es immer un- 

 endlich viele verschiedene Zahlen p, welche zwischen a, y liegen. 



III. Ist a eine bestimmte Zahl , so zerfallen alle Zahlen des 

 Systems JR in zwei Klassen A\ und Ai, deren jede oo viele Individuen 

 enthalt; die erste Klasse A\ umfasst alle die Zahlen ai, welche <C a 

 sind, die zweite Klasse Az umfasst alle die Zahlen 1x2 , welche ^> a 

 sind ; die Zahl a selbst kann nach Belieben der ersten oder der zweiten 

 Klasse zugeteilt werden, und sie ist dann entsprechend die grosste 

 Zahl der ersten oder die kleinste Zahl der zweiten Klasse. In jedem 

 Falle ist die Zerlegung des Systems B in die beiden Klassen At, A* 

 von der Art, dass jede Zahl der ersten Klasse A\ kleiner als jede Zahl 

 der zweiten Klasse At ist, und wir sagen, dass diese Zerlegung durch 

 die Zahl a hervorgebracht wird. 



IV. Zerfallt das System jR aller reellen Zahlen in zwei Klassen 

 At, Az von der Art, dass jede Zahl ai der Klasse Ai kleiner ist als 

 jede Zahl 1x2 der Klasse Az, so existiert eine und nur eine Zahl a, 

 durch welche diese Zerlegung hervorgebracht wird (das Gebiet H> be- 

 sitzt die Eigenschaft der Stetigkeit). 



Nach J. Tannery's Behauptung finden 108 ) sich die Grundgedanken 

 von Dedekinds Theorie schon in J. Bertrand's Lehrbiichern der Arith- 

 metik und Algebra, eine Aufstellung, welche von Dedekind entschieden 

 zuriickgewiesen worden ist 25 ). 



G. Cantor und. Heine 89 ) stellen behufs Einfuhrung der ir- 

 rationalen Zahlen den Begriff der Fundamentalreihe auf. 

 Eine solche besteht aus unendlich vielen rationalen Zahlen 

 ai, aa, as, ... a nfr , . . ., und hat die Eigenschaft, dass fur 

 eine heliebig klein angenommene positive Zahl e ein Stellen- 

 zeiger m existiert, so dass fur n ^ m der absolute Betrag 

 des Unterschieds zwischen dem Glied a n und irgend einem 

 folgenden Grliede kleiner ist als (Konvergenzbedingung der 

 Reihe der a n ). Irgend zwei Fundamentalreihen lassen sich 



