94 HI. Allgemeine Arithmetik und Algebra. 



in Bezug auf Grosser, Gleich oder Kleiner mit einander ver- 

 gleichen; dadurch erhalten sie die Bestimmtheit einer Zahl 

 in gewohnlichem Sinne. Die durch eine Fundamentalreihe 

 definierte Zahl heisst eine Reihenzahl. Eine Reihenzahl 

 ist entweder identisch mit einer rationalen Zahl, oder sie ist 

 es nicht; im letzteren Fall definiert sie eine irrationale 

 Zahl. Das Gebiet der Reihenzahlen besteht aus der Gesarnt- 

 heit aller rationalen und irrationalen, d. h. aller reellen 

 Zahlen, und nur aus diesen. Auch hier kann das Gebiet 

 der reellen Zahlen auf die Gerade bezogen werden, wie G. 

 Cantor gezeigt hat. 



Die Erweiterung des Zahlengebiets durch die imagi- 

 naren Grossen kniipft an die Auflosung der Gleichungen 

 an, insbesondere an die des dritten Grads. Die italienischen 

 Algebristen des 16. Jahrhunderts nannten sie unmogliche 

 Zahlen . Als eigentliche Losungen einer Gleich ung treten 

 die imaginaren Grossen zuerst bei Albert Girard (1629) auf. 

 Von Descartes stammen die Ausdriicke reell und imaginar 

 als charakteristische Bezeichnungen fur die Verschiedenartig- 

 keit der Wurzeln einer Gleichung. Moivre und Lambert 

 fiihrten die imaginaren Grossen in die Trigonometrie ein, 

 ersterer durch seinen beruhmten Satz iiber die Potenz 

 (cos 9 + isw$) n , der iibrigens nach Hankel zuerst von Euler 

 aufgestellt worden sein soil. 



Die grossten Verdienste urn die Auf klarung des Wesens 

 der imaginaren Grossen hat sich Gauss 49 ) erworben. Von 

 ihm stammt das Zeichen i fur y/ T; er nennt a 4- bi eine 

 komplexe Zahl mit der Norm a 2 + 5 2 . Der Name Modul 

 fur die Grosse Ja*fb* riihrt von Argand her (1814), der Name 

 reduzierte Form ftir r (cos cp + i sin cp) statt a -f U von 

 Cauchy , endlich die Benennung Richtungscoefficient fiir 

 den Faktor cosy 4- isiny von Hankel. Gauss, dem es 1799 

 noch lediglich ratlicher schien, die komplexen Zahlen beizu- 



