96 HI. Allgemeine Arithmetik und Algebra. 



der Berliner Akademie von 1841, 1842 und 1846 enthalten 

 sind, erfuhren wesentliche Erweiterungen durch Eisenstein, 

 Kummer und Dedekind. Gauss hatte in der Entwicklung der 

 reellen Theorie der biquadratischen Reste Veranlassung ge- 

 funden , komplexe Zahlen von der Form a + bi einzufiihren, 

 und Lejeune Diriclilet hat die Theorie solcher Zahlen so aus- 

 gebildet, dass in der neuen Lehre dieser komplexen Zahlen, 

 wie in der reellen Theorie, Primzahlen, Kongruenzen, Rest- 

 satze, Reziprozitat etc. auftreten, nur zeigen hier die Satze 

 grossere Mannigfaltigkeit und Zusammensetzung, bieten aber 

 auch dem Beweis grossere Schwierigkeit 18a ). Statt der 

 Gleichung #? 4 1 = 0, welche als Wurzeln die Gauss' schen 

 Einheiten liefert, hat Eisenstein die Gleichung x' A 1 = 

 benutzt und komplexe Zahlen a + frp (p eine dritte Einheits- 

 wurzel) betrachtet, deren Theorie mit derjenigen der Gauss' schen 

 Zahlen a + bi Aehnlichkeit hat , jedoch in verschiedenen 

 Dingen von ihr zu trennen ist. Kummer gieng zum allgemei- 

 neren Fall fiber unter Zugrundlegung der Gleichung as n 1 0, 

 so dass komplexe Zahlen von der Form 



a = aiAi 4- azAz -f as As + . . . 



entstehen, wo die a,- ganze reelle Zahlen, die At Wurzeln 

 der Gleichung x n 1 = sind. Kummer hat auch dem 

 Begriff der idealen Zahlen aufgestellt, d. h. solcher Zahlen, 

 welche Faktoren von Primzahlen sind und die Eigenschaft 

 haben, dass es immer eine Potenz dieser idealen Zahlen gibt, 

 welche eine wirkliche Zahl liefert. Es existiert z. B. fur eine 

 Primzahl p keine Zerlegung j? 3 A . B (wo A von p und 

 p 2 verschieden sein soil); allein in der Theorie der aus den 

 dreiundzwanzigsten Einheitswurzeln gebildeten Zahlen gibt es 

 Primzahlen p, welche der obigen Bedingung genugen. Es 

 ist dann p das Produkt zweier idealen Zahlen , deren dritte 

 Potenzen die zwei wirklichen Zahlen A und J5 sind, so dass 

 man hat p* = A.B. In der spateren, durch Dedekind ge- 



