98 Hi. Allgemeine Arithmetik und Algebra. 



waren nicht imstande, demselben einen grosseren Leserkreis 

 zu schaffen , so dass noch im Jahr 1853 Mobius schreiben 

 kann, Bretschneider in Gotha sei der einzige Mathematiker, 

 der ihm versichert habe, dass er die Ausdehnungslehre 

 durchgelesen. 



Den ersten Anstoss zu semen Betrachtungen erhielt Grassmann 

 aus der Geometric, indem er sich daran gewohnte, fiir den Fall, dass 

 A, B, C Punkte einer Geraden sind , AB 4~ BC = AC zu setzen 35 ). 

 Damit verband er Satze, welche das Parallelogramm als Produkt zweier 

 anstossenden Seiten gelten lassen und kam so zu neuen Produkten, 

 fur welche die gewohnlichen Gesetze der Multiplikation gelten, soweit 

 nicht Faktoren zu vertauschen sind, in welch letzterem Falle die Vor- 

 zeichen umgekehrt werden miissen. Eingehendere Betrachtungen fiihrten 

 Grassmann dazu, als Summe mehrerer Punkte den gemeinsanien Schwer- 

 punkt, als Produkt zweier Punkte die zwischen ihnen liegende endliche 

 Strecke, als Produkt dreier Punkte die Flache ihres Dreiecks und als 

 Produkt von vier Punkten das Yolumen ihrer Pyramide anzusehen. 

 Durch das Studium des Barycentrischen Calculs von Mobius wurde 

 Grassmann noch weiter gefordert. Das Produkt zweier Strecken , die 

 ein Parallelogramm bildeten, wurde ausse res Produkt genannt (die 

 Faktoren sind nur mit Zeichenwechsel vertauschbar), das Produkt einer 

 Strecke und der senkrechten Projektion einer andern auf sie bildete 

 ein inneres Produkt (die Faktoren sind ohne Zeichenwechsel ver- 

 tauschbar). Die Einfuhrung der Exponentialgrosse fiihrte zum Ausbau 

 des Systems, von welchem H. Grassmann in Grunerfs Archiv (1845) 

 eine kurze Uebersicht erscheinen liess. 



Hamilton 118 ) verbreitet sich tiber die fur seine Entwick- 

 lungen so charakteristischen Werte i, j, ~k zuerst in einer 

 Mitteilung an die Akademie zu Dublin 1844. Die Lectures 

 on Quaternions erschienen 1853, die ^Elements of Quater- 

 nion s 1866. Von einem festen Punkt werde eine 

 Strecke 18 ) nach dem Punkt P mit den rechtwinkligen Koordi- 

 naten a;, y, z gezogen. Bedeuten nun i, j, k feste Coefficienten 

 (Einheitslangen auf den Axen), so heisst 



V = ioc + jy 4- &# 



ein Vektor, und dieser additiv verkntipft mit der Bremen 

 Grosse oder dem Skalar w erzeugt die Quaternion 



