Dritte Periode. Logikcalcul. 99 



Q = w+ ix -\-jy-\-~kz. 



Die Addition zweier Quaternionen erfolgt nach der gewohn- 

 lichen Formel: 



Aber fur den Fall der Multiplikation 1st 



1 ^ 1^= 1, i=jk= kj, j = lei = ik, Jc ij = ji 



zu setzen, so dass man erh'alt: 



Q . Q r = ww xx yy zs + i(wx' -j- xw' + yz - - 



yw -i-zx' s'x) 

 BW' + xy yx). 



Denselben Gegenstand betreffend veroffentlichte Scheffler 1846 sein 

 erstes Werk: Ueber das Verhaltnis der Arithmetik zur Geometries 

 ferner 1852 den Situationscalcul und 1880 die Polydimensionalen 

 Grossen. Fiir ihn 117 ) ist der Vektor r im dreidiinensionalen Raum 

 dargestellt durch 



a.e .e , oder r =.x-\-y V i -\-e \/ i . v / 



oder r = x~.i-~s.i.ii fiir t= v/^T und ti =' v'-f- 



als Drehfaktoren um Winkel von 90 in der xy- und #-Ebene. Fiir 

 die Multiplikation gilt bei Scheffler das distributive Gesetz nicht 

 immer, d. n. es ist nicht immer a(b 4- c) dasselbe wie db -\- ac. 



Untersuchungen iiber den Umfang des Bereichs, inner- 

 halb dessen unter gewissen Voraussetzungen die Gesetze der 

 arithmetischenElementaroperationen Giiltigkeit besitzen, haben 

 zur Auf stellung eines Logikcalculs 97 ) gef iihrt. Zu dieser 

 Art von Untersucbungen gehoren ausser Grassmann's Formen- 

 lebre (1872) Noten von Gayley und Ellis, und insbesondere 

 die Werke von Boole und Schroder. 



Ein kleines Teilgebiet der modernen Zahlentheorie oder 



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