Dritte Periode. Zahlentheorle. 



inindependenter Form darzustellen, d. h. ein allgemeines 

 Gesetz zu finden, vermoge dessen die Berechnung eines belie- 

 bigen Naherungswertes ohne Feststellung der vorangehenden 

 Naherungswerte moglich ware. Obwohl Euler sich der Auf- 

 findung eines solchen Gesetzes nicht riihmen konnte, schuf er 

 doch einen besondern Algorithmus zu diesem Zweck, der ihn 

 aber dem erstrebten Ziele nicht wesentlich naher brachte, 

 weil er trotz des Vorgangs von Cramer der Verwendung von 

 Determinanten aus dem Wege ging, um sicli dafiir inniger 

 an die reine Kombinatorik anzuschliessen. Von diesem Ge- 

 sichtspunkt aus wurde dasselbe Problem namentlich von 

 Hindenburg und seinen Scniilern BurcMardt und Rofhe in 

 Angriff genommen. Jedoch kennen die Kombinatoriker die 

 Berechnung des Kettenbruchs nur von e i n e r Seite her, 

 wahrend das independente Darstellungsverfahren gestatten 

 muss, den verlangten Naherungswert von beiden Seiten, von 

 vorn wie von hinten, zu berechnen, was nach Lejeune Dirichlet 

 unter Umstanden von grosser praktischer Bedeutung sein kann. 



Erst die neuere Zeit hat in dieses Gebiet die Determinants n- 

 rechnung, allerdings auch ein kombinatorisches Symbol, eingefiihrt, 

 und zwar stammt die erste Anregung hiezu von dem danischen Ma- 

 thematiker Eamus (1855) her. Auch Heine, Mobius und S. Gunther 

 stellten ahnliche Untersuchungen an; es bildeten sich Kettenbruch- 

 determinanten. Die IrrationaKtat gewisser unendlicher Ketten- 

 briiche 108 ) wurde von Legendre untersucht, der ebenso wie Gauss den 

 Quotienten zweier Potenzreihen in der Form eines Kettenbruchs dar- 

 stellen lehrte. Durch Anwendung unendlicher Kettei^Piiche lasst sich 

 zeigen, dass die Grossen e x (fiir rationale Werte von x), ferner e, u, u 2 

 nicht rational sein konnen (Lambert, Legendre, Stern).* Erst in der 

 neuesten Zeit ist durch Hermite die transcendente Natur von e, durch 

 F. Lindemann die von n klargelegt worden. 



In der eigentlichen Zahlentheorie haben deren alteste 

 Vertreter EuMid und Diophant ziemlich schwierige Aufgaben 

 iiber Eigenschaften der Zahlen gelost; ein weiteres Vordringen 

 war aber nicht moglich, so lange ohne ziffernmassige Dar- 



