102 5IL- Allgemeine Arithmetik und Algebra. 



stellung und fast nur mit einer im geometrischen Gewand 

 auftretenden Algebra untersucht werden musste 64 ). Bis auf 

 Viete und Sachet ist in zahlentheoretischen Dingen kein 

 wesentlicher Fortschritt zu verzeichnen. Ersterer loste meh- 

 rere zahlentlieoretische Probleme. Letzfcerer gab in seinem 

 Werk: Problemes plaisants et delectables eine fein durch - 

 gefiihrte Bearbeitung der unbestimmten Gleichungen ersten 

 Grads. Am Beginn der neueren Zeit sind die ersten Steine 

 zur Festlegung des Fundaments der Zahlentheorie von Fermat 

 beschafft worden, der sich an Diophant gebildet hatte und 

 auch dessen von Sachet bearbeiteten Werken wertvolle Zu- 

 satze einverleibte. Die grosse Menge von Satzen , welche 

 auf ihn zuriickzufuhren sind, hat er meist ohne Beweis ge- 

 geben, z. B. folgende Behauptungen : 



Jede Primzahl von der Form 4w + 1 ist die Summe 

 zweier Quadrate ; eine solche von der Form Sn + 1 besitzt zu 

 gleicher Zeit die drei Formen y* + 2 , y 2 + 2# 2 , y 2 2# 2 ; 

 jede von der Form Sn + 3 stellt sich als y* + 2^ 2 , jede von 

 der Form Sn -f- 7 als y* 2^ 2 dar. Ferner: Jede belie- 

 bige Zahl kann durch Addition von drei Trigonalzahlen, 

 von vier Quadratzahlen , funf Pentagon alzahlen etc. gebildet 

 werden. 



Bewiesen wird durch Fermat, dass der Inhalt eines pytha- 

 goraischen rechtwinkligen Dreiecks , also beispielsweise eines 

 solchen mit den Seiten 3, 4 und 5, keine Quadratzahl sein 

 kann. Auch iwohl Fermat der erste, welcher die Auflosung der 

 Gleichung x 2 Ay 2 = 1 gekannthat, wenigstens legte er diese 

 Aufgabe ddn englischen Mathematikern vor, unter denen Lord 

 Brounker eine Auflosung fand, welche in die Werke von Wallis 

 iibergegangen ist. Viele der S'atze Fermafs gehoren zu den 

 schonsten Lehrsatzen der hoheren Arithmetik*), und haben 

 das Eigne, dass sie durch Induktion leicht entdeckt werden, ihre 



*) G a u s s , Werke, II. S. 152. 



