Dritte Periode. Zahlentheorie. 103 



Beweise hingegen ausserst versteckt liegen und nur durch sehr 

 tief eindringende Untersuchungen aufgespiirt werden konnen. 

 Gerade dies 1st es, was der hoheren Arithmetik jenen zauber- 

 ischen Reiz gibt, der sie zur Lieblingswissenschaft der ersten 

 Geometer gemacht hat, ihres unerschopflichen Reichtums nicht 

 zu gedenken, woran sie alle andern Teile der reinen Mathe- 

 matik so weit ubertrifft. 



Nach Fermat nahm Euler zahlentheoretische Studien ernst- 

 lichwiederauf. Vonihm stammt unter anderem die erste wissen- 

 schaftliche Losung der Schachbrettaufgabe , welche verlangt, 

 dass der Springer eines Schachbretts, von einem bestimmten 

 Feld ausgehend, nach und nach alle vierundzecbszig Felder 

 einfach besetzen soil, ferner der Satz, dass das Produkt der 

 Summe von vier Quadraten in ein anderes ahnliches Produkt 

 eberifalls die Summe von vier Quadraten gibt. Er findet 

 auch Beweise zu verschiedenen Fermat' schen Satzen, ferner 

 die allgemeine Auflosung der unbestimmten Gleichung zweiten 

 Grads mit zwei Unbekannten unter der Yoraussetzung des 

 Bekaimtseins einer speziellen Losung, und behandelt eine Menge 

 unbestimmter Gleichungen , fur welche er scharfsinnige Lo- 

 sungen entdeckt. 



Euler (ebenso wieKrafft), beschaftigte sich auch mit befreun- 

 deten Zahlen 103 ). Dieselben, von Jamblichus als den Pythagoraern 

 bekannt erwahnt (s. S. 27), auch von dem Araber Tabit ibn Kurra auf- 

 gezeichnet, regten Descartes zur Auffindung eines Bildungsgesetzes an, 

 welches van Schooten wiedergibt. Diese Vorschrift erweiterte Euler, 

 indem er davon ausging , dass zwei befreundete Zahlen die gleiche 

 Anzahl von Primfaktoren besitzen mussen, und dass die Summe aller 

 Teller der einen Zahl die andere ergeben soil. Es sind beispielsweise 

 220 = 2 2 . 55 und 284 = 2 2 . 71 befreundete Zahlen, weil man als Teiler- 

 summe dieser Zahlen findet: 



1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284, 



1 + 2 -}- 4 -f- 71 + 142 = 200. 



Die Aufstellung befreundeter Zahlen hangt entweder von der Losung 

 der Gleichung xy -{-ax -\-~by -f- c = oder von der Zerlegung der qua- 

 dratischen Form ox 2 -j- bxy -f- cy~ ab. 



