104 HI- Allgemeine Arithmetik und Algebra. 



Nachst Euler war es Lagrange, der manclies zahlentbeo- 

 retisch interessante Resultat zu veroffentlichen vermochte. 

 Er zeigte, dass eine beliebige Zabl als Summe von vier oder 

 weniger Quadraten darstellbar ist, und dass eine reelle Wurzel 

 einer algebraischen Gleicbung beliebigen Grads in einen Ketten- 

 bruch verwandelt werden kann. Er lieferte aucb einen ersten 

 sehr schonen Beweis dafiir, dass die Gleichung x* Ay* = \ 

 immer in ganzen Zahlen losbar ist, und entdeckte eine all- 

 gemeine Methode zur Ableitung von Satzen iiber Primzahlen. 



Nun aber fiihrt die Entwicklung der Zahlentbeorie in 

 zwei gewaltigen Spriingen aufwarts zu Legendre und Gauss. 

 Des ersteren wertvolle Abhandlung: Essai sur la theorie 

 des nombres , nur wenige Jabre vor Gauss' Disquisi- 

 tiones arithmeticae erscbienen , bringt eine Zusammen- 

 fassung der bis dabin veroffentlichten Resultate nebst eigenen 

 Entwicklungen , unter ihnen als Glanzpunkt das quadra- 

 tische Reciprocitatsgesetz, oder, wie es Gauss nannte, 

 das Tbeorema fundamentale in doctrina de residuis qua- 

 dratis. Dieses Gesetz gibt eine Beziebung zwiscben zwei 

 ungeraden und ungleicben Primzablen an und kann folgender- 

 massen ausgesprocben werden: 



Es sei (~) der Rest, welcher sich bei der Division von 



n 1 



m~~z~~ durch n ergibt, und (-^-) der Rest der Division von 



OT 1 



n~% durcb m, welcbe Reste stets + 1 oder -1 sind. 

 Welches 64 ) dann aucb die Primzablen m und n sein mogen 

 man erbalt stets , falls nicbt beide von der Form 4# + 3 

 sind, (-^-) = (^-). Sind aber beide von der Form 4# + 3, 

 so bat man (-^) = (^). 



Diese zwei FaJle sind in der Formel entbalten: 



I n\ , 1X ^^. ^i 1 / m \ 



= (1) 2 2 I 



\ m I \ n I 



