Dritte Periode. Zahlentheorie. 105 



Nach der schon Sachet gelungenen vollstandigen Behandlung 

 der unbestimmten Grleichungen ersten Grrads mit zwei Unbe- 

 kannten, welche unter Anwendung der Gauss' schen Schreib- 

 weise in der Form x=a (mod &), gleichbedeutend mit 

 -|- = y -f a, auftritt, handelte es sich um Losung der Kon- 

 gruenz #? 2 = m (mod n). Einzelne besondere Falle der voll- 

 standigen Losung kannte schon Fermat; er wusste, unter 

 welchen Umstanden + 1, 2, + 3, 5 quadratische Reste oder 

 Nichtreste einer ungeraden Primzahl m sind 7 ). Fur die Falle 

 1 und +3 riihren die Beweise von Euler, fiir + 2 und +5 

 von Lagrange her. Euler war es auch, der vier Satze mit- < 

 teilte , welche das quadratische Reciprocitatsgesetz in seiner 

 ganzen Allgemeinheit umfassen, ohne dass er jedoch einen voll- 

 standigen Beweis dazu lieferte. Auch der beruhmte Beweis 

 von Legendre (in Essai sur la theorie des nombres, 1798) 

 ist noch unvollstandig. Gauss erbrachte, ohne indes die 

 Arbeit von Euler zu kennen, im Jahr 1796 den ersten ein- 

 wurfsfreien Beweis, der zugleich die Eigentumlichkeit besitzt, 

 dass er die Prinzipien der spater angegebenen Beweisfuhrungen 

 in sich schliesst. Gauss stellte fur dieses wichtige Gesetz nach 

 und nach nicht weniger als acht Beweise auf, von denen 

 der sechste, der Zeit nach der letzte, fast gleichzeitig durch 

 Caucliy, Jacobi und Eisenstein vereinfacht wurde ; durch Eisen- 

 stein wurde insbesondere gezeigt, dass das quadratische, ku- 

 bische und biquadratische Gesetz einer einzigen Quelle ent- 

 stromen. Im Jahr 1861 veroffentlichte Kummer mit Hilfe 

 der Formenlehre zwei Beweise fiir das quadratische Recipro- 

 citatsgesetz, welche der Verallgemeinerung fur wte Potenzreste 

 fahig waren. Bis jetzt sind fiinfundzwanzig verschiedene \ 

 Beweise des quadratischen Reciprocitatsgesetzes veroffentlicht I 

 worden; sie benutzen entweder Induktion und Reduktion, 

 oder die Lehre von der Kreisteilung, Funktionentheorie oder 

 Formenlehre. Ausser den erwahnten acht Beweisen von Gauss 

 zahlt man vier von Eisenstein, zwei von Kummer, je einen 



