116 HI. Allgemeine Arithmetik und Algebra. 



ausserhalb des Bodens der namentlich von franzosischen Mathematikern 

 wie Lagrange und Laplace gepflegten neuen und fruchtbaren Methoden, 

 dass sie zunachst wenigstens auf die weitere Entwicklung der Mathe- 

 matik im Anfang des 19. Jahrhunderts ohne Einfluss blieb. 



Im Gebiet der unen dlichen Reihen sind viele Falle, 

 die meist auf die geometrische Reihe zuriickfuhren, von Euklid, 

 und in umfangreicherem Masse von Apollonms behandelt worden. 

 Das Mittelalter hatte nichts wesentliches hinzugefugt; erst 

 die neuere Zeit lieferte Bereicherungen dieses Zweigs mathema- 

 tischen Wissens. Saint - Vincent und Merkator entwickelten 

 unabhangig von einander die Reihe fur log (1 + #), Gregory 

 die fur arc tg x, sin x, cos x, sec x, cosec x. Bei dem letztge- 

 nannten Schriftsteller finden sich in der Behandlung der 

 unendlichen Reihen auch die Ausdriicke konvergent und 

 divergent . Leibniz wurde durch seine Beschaftigung mit end- 

 lichen arithmetischen Reihen auf unendliche Reihen gefiihrt. 

 Er fuhlte zugleich das Bediirfnis, naheres iiber Konvergenz und 

 Divergenz der Reihen zu erfahren; ebenso Newton, der die 

 unendlichen Reihen ahnlich wie Apollonius zur Losung al- 

 gebraischer und geometrischer Probleme benutzt, namentlich 

 zur Berechnung von Flacheninhalten, demnach als Ersatz von 

 Integrationen. 



Die von Leibniz neu eingefuhrten Ideen wurden durch Jakob 

 Bernoulli und Johann Bernoulli weiter entwickelt. Ersterer 

 bildete Summen von Reihen mit konstanten Gliedern, letzterer 

 gab eine allgemeine Formel der Entwicklung einer Funktion 

 in eine unendliche Reihe. Eigentliche Konvergenzkriterien 

 gab es bis zu diesem Zeitpunkt noch nicht; nur fur alter- 

 nierende Reihen hatte Leibniz ein Erkennungszeichen der 

 Konvergenz angegeben. 



In der zunachst sich anschliessenden Zeit erfuhr die 

 formelle Behandlungsweise der Reihen eine wesentliche 

 Forderung. Moivre schrieb fiber rekurrente Reihen und er- 

 schopfte ihre wesentlichen Eigenschaften fast vollstandig. 



