Dritte Periods. Reihen. 117 



Besonderer Bekanntschaft erfreuen sich die Reihen von Taylor 

 und Maclaurin. Letzterer lieferte einen strengen Beweis von 

 Taylor's Reihe, gab vielfache Anwendungen derselben und 

 stellte neue Sunimenformeln auf. Die grosste formale Gre- 

 wandtheitin derBehandlung unendlicher Reihen weistEuler auf, 

 der sich aber wenig um Konvergenz und Divergenz kiimmert. 

 Eider leitete die Exponentialreihe aus der Binomialreihe ab und 

 entwickelte als der erste rationale Funktionen in Reihen, die 

 nach sinus und cosinus der ganzen Vielfachen des Arguments 

 fortschreiten 86 ). Dabei definierte er die Coefficienten einer 

 trigonometrischen Reihe durch bestimmte Integrale, ohne diese 

 wichtigen Formeln auf die Darstellung willkurlicher 

 Funktionen durch trigonometrische Reihen anzuwenden. Dies 

 geschah erst durch Fourier, dessen Untersuchungen von 

 Riemann und Cauchy vervollstandigt und durch Dirichlet zu 

 einem vorlaufigen Abschluss gebracht worden sind, insofern 

 letzterer durch strenge Methoden eine wissenschaftliche 

 Begriindung lieferte und namentlich allgemeinere und 

 kompliziertere Untersuchungen tiber Konvergenz der Reihen 

 anstellte 68 ). Von Laplace riihren Reihenentwicklungen mit 

 zwei Variabeln her, namentlich solche in rekur rente Reihen. 

 Legendre veranlasste durch die Einfuhrung der Kugel- 

 funktionen eine nicht zu unterschatzende Erweiterung der 

 Reihentheorie. 



Mit Gauss bricht auch hier wie in fast alien anderen 

 mathematischen Gebieten die Zeit exakter Behandlungsweise 

 an , die Zeit der Aufstellung der einfachsten Konvergenz- 

 kriterien, der Untersuchung des Rests und der Fortsetzung 

 der Reihen uber ihren Konvergenzbereich hinaus. Die Ein- 

 leitung hiezu bildet die beruhmte Reihe von Gauss: 



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die zwar schon Euler behandelt, aber nicht in ihrem ganzen 



