118 III. Allgemeine Arithmetik und Algebra. 



Umfang gewiirdigt hatte 86 ). Die ganz allgemein angenommene 

 Benennung dieser Reihe als hypergeometrische Reihe riihrt 

 von J. F. Pfaff her, der sie fur die allgemeineren Reihen in 

 Vorschlag brachte, bei welchen der Quotient eines Glieds in 

 das folgende cine rationale Funktion des Stellenzeigers ist. 

 Nach Wallis gebrauchte JEuler denselben Namen fur Reihen, 

 in denen jener Quotient eine ganze Funktion ersten Grads 

 des Stellenzeigers ist*). Gauss, wahrscheinlich veranlasst 

 durch astronomische Anwendungen, gab an, dass seine Reihe 

 unter Voraussetzung gewisser spezieller Werte fur a, J3, y 

 fast alle damals bekannten Reihen zu ersetzen imstande war ; 

 er untersuchte die wesentlichen Eigenschaften dieser Funktion 

 und gab fur Reihen uberhaupt ein wichtiges Konvergenz- 

 kriterium. Abel verdankt man wichtige Untersuchungen 

 iiber die Stetigkeit der Reihen. 



Der Begriff der gleichmassigen Konvergenz von 

 Reihen ist aus dem Studium des Verhaltens der Reihen in 

 der Nahe ihrer Sprungstellen entstanden und wurde fast 

 gleichzeitig von Stokes und Seidel aufgestellt. Letzterer nennt 

 eine Reihe dann gleichmassig konvergent, wenn sie zwar 

 eine diskontinuierliche Funktion einer Grosse x darstellt, von 

 der ihre einzelnen Glieder kontinuierliche Funktionen sind, 

 aber in der Nahe der Sprungstellen so beschaften ist, dass 

 man Werte von x angeben kann, fur welche die Reihe be- 

 liebig langsam konvergiert 86 ). 



Die Zeit der Entdeckung wirksamer Konvergenz- und 

 Divergenzkriterien 86 ) beginnt mit Cauchy (1821). Seine Unter- 

 suchungsmethoden , sowie die zwischen 1832 und 1851 von 

 Raabe, Duhamel, de Morgan, Bertrand, Sonnet, Paucker ver- 

 offentlichten Satze uber unendliche Reihen mit positiven 

 Gliedern stellen spezielle Kriterien auf, denn sie vergleichen 

 durchweg das nie Reihenglied mit besonderen Funktionen 



*) Riemann, Werke, S. 78. 



