Dritte Periode. Losung algebraischer Gleichungen. 121 



unbestimmten Coefficienten a, (3, y, . . . dazu verwenden kann, der 

 Gleichnng in y gewisse spezielle Eigenschaftenzu verleihen, z. B. 

 einige Glieder zum Verschwinden zu bringen. Mit den y sind 

 dann im allgemeinen auch die x bestimmt. Durch diese Methode 

 wird die Losung der Gleichungen dritten und vierten Grads 

 auf die einer Gleichung zweiten, beziehungsweise dritten 

 Grads zuruckgefiihrt ; allein die Anwendung auf die Gleichung 

 fiinften Grads fuhrtschon auf eine Gleichung vierundzwanzigsten 

 Grads , von deren Behandlung , die vollstandige Losung der 

 Gleichung fiinften Grads abhangig ist. 



Nachdem auch gegen Ende des 17. und Anfang des 18. 

 Jahrhunderts De Lagny, Eolle, Laloubere und Leseur ver- 

 gebliche Anstrengungen gemacht hatten, mit strengen Losungs- 

 tnethoden iiber die Gleichung vierten Grads hinauszukommen, 

 nahm Euler 1749 das Problem in Angriff. Er suchte zu- 

 nachst die Gleichung vom Grad 2n in zwei Faktoren je vom 

 Grade n zu zerlegen mit Hilfe der Einfiihrung unbestimmter 

 Coefficienten; aber die von ihm erhaltenen Resultate waren 

 nicht befriedigender als die seiner Vorganger, indem eine 

 Gleichung achten Grads bei dieser Behandlung auf eine 

 Gleichung siebzigsten Grads fiihrte. Doch konnte Euler bei 

 solchen Arbeiten als eine schone Frucht seiner Miihe den Be- 

 weis des Satzes betrachten , dass jede Gleichung geraden 

 Grads in lauter rationale Faktoren zweiten Grads zerlegt 

 werden kann. 



In einer aus dem Jahr 1762 stammenden Arbeit griff 

 Euler das Problem direkt an. Von den Gleichungen zweiten 

 und dritten Grads ausgehend vermutete er, dass eine Wurzel 

 der allgemeinen Gleichung wten Grads aus n 1 Radikalen 

 nten Grads mit untergeordneten Quadratwurzeln zusammen- 

 gesetzt werden konne. Er bildete derartige Ausdrticke und 

 suchte durch Coefficientenvergleichung seinen Zweck zu er- 

 reichen, was auch bis zum vierten Grad keine Schwierigkeiten 

 bot; aber schon beirn fiinften Grad war Euler genotigt, 



