124 HI. Allgemeine Arithmetik und Algebra. 



wo n eine Primzahl 1st. Gleichungen dieser Art stelien in 

 engster Beziehung zur Teilung des Kreisumfangs in n gleiche 

 Teile. 1st nemlich y die Seite des einem Kreis vom Halb- 

 messer 1 einbeschriebenen regularen Vielecks mit n Seiten, 

 und 2 die Verbindungsstrecke der ersten und dritten Ecke 

 dieses Vielecks, so findet sich : 



y = 2 . sin . z 2 sin . 

 n n 



Setzt man aber 



27c .271/271; . 2ri\ n 



x = cos 1- i sin . ( cos - + i sin 1 , 



n n \ n n I 



so ist die Gleichung x n 1 = als algebraischer Ausdruck 

 der Frage nach der Konstruktion des regularen w-Ecks zu 

 betrachten. 



Von Gauss 6 *) wurde folgender sehr allgemeine Satz bewiesen : 

 Ist n eine Primzahl, und hat man die Zahl n 1 in Prim- 

 faktoren a, 6, c, ... zerlegt, so dass n 1 a a b$ cf . . . , 

 dann lasst sich die Losung der Gleichung x n 1 = iramer 

 zuriickfiihren auf diejenige mehrerer Gleichungen niedrigeren 

 Grads, nemlich auf a Gleichungen vom Grad a, auf {3 Glei- 

 chungen vom Grad &, etc. So wird beispielsweise die Losung 

 der Gleichung x 75 1=0 (die Teilung des Kreisumfangs in 

 73 gleiche Teile), da n 1-72-2 3 . 3 2 ist, dadurch erhalten, 

 dass man drei quadratische und zwei kubische Gleichungen 

 behandelt. x 17 1 =0 fuhrt wegen n 1 = 16 = 2 4 auf 

 vier Gleichungen zweiten Grads ; man kann also das regulare 

 Siebenzehneck elementargeometrisch konstruieren, eine That- 

 sache, welche vor Gauss niemand geahnt hatte. 



Ins einzelne ausgefuhrte elementargeometrische Kon- 

 struktionen des regularen Siebenzehnecks sind zuerst von 



