Dritte Periode. Kreisteilungsgleichung. 125 



Pauker und Erchinger aufgestellt worden*). Eine bemerkens- 

 werte Konstruktion derselben Figur riihrt von v. Staudt her. 



Fur den Fall, dass die Primzahl n die Form 2 -j- 1 hat, wird 

 die Auflosung der Gleichung x n 1 = immer auf die von m qua- 

 dratischen Gleichungen zuriickgef iihrt , von denen man sogar nur 

 m 1 notig hat , wenn es sich um die Konstruktion des regularen 

 w-Ecks handelt. Zu beachten ist hiebei, dass nur fiir m = 2k 

 (k eine ganze positive Zahl) der Ausdruck 2m -f- 1 eine Primzahl sein 

 kann, aber, wie B. Baltzer 79 ) gezeigt hat, nicht notwendig sein muss. 

 Wahlt man der Reihe nach fiir m die Zahlen 



1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 16, 2 12 , 2 23 , 



so ergeben sich fiir w = 2 w -j-l die entsprechenden Zahlen: 



3, 5, 9, 17, 33, 65, 129, 257, 65537, (2)2 12 4. 1, (2)2 23 -f 1, 



von welchen nur 3, 5, 17, 257, 65537 Primzahlen sind; die iibrigen 

 Zahlen sind zusammengesetzt ; insbesondere haben die zwei letzten 

 Werte fur n beziehungsweise die Faktoren 114689 und 167772161. 

 Es lasst sich also der Kreis in 257 oder 65537 gleiche Teile teilen, 

 dadurch dass man beziiglich 7 oder 15 quadratische Gleichungen auf- 

 lost, was durch Konstruktion elementargeometrisch moglich ist. 

 Beachtet man die Zerlegungen: 



255= 2 8 1 = (2 4 1) (2 4 -f 1)= 15. 17, 256 = 2 8 , 

 65535 = 2 16 1 = (2 8 - 1) (2 8 + 1) = 255 . 257, 65536 = 2 18 , 



so ist ersichtlich, dass der Kreis elementargeometrisch, d. h. nur unter 

 Anwendung des Zirkels und Lineals, in 



255, 256, 257; 65535, 65536, 65537 



gleiche Teile geteilt werden kann. Unmittelbar lasst sich diese Reihe 

 nicht fortsetzen, da n =. 2 32 -J- 1 keine Primzahl ist. 



Die Moglichkeit der elementargeometrischen Konstruktion des 

 regularen 65535-Ecks erhellt aus folgender Zerlegung: 



65 535 = 255 . 257 = 15.17. 257. 

 Ist nun der Kreisumfang gleich 1 gesetzt, so wird 



16 IT == T5T> T6TT FF7 == 6663T 



also ist ^^^y des Umfangs durch Ausfiihrung elementar-geometrischer 



Operationen bekannt. 



Gauss, Werke, II, S. 187. 



