126 HI. Allgemeine Arithmetik und Algebra. 



Nachdem Gauss schon in seiner friihesten wissenschaft- 

 lichen Arbeit, der Doktordissertation , den ersten seiner Be- 

 weise fur den wichtigen Satz, dass jede algebraische Gleichung 

 eine reelle oder komplexe Wurzel hat , gegeben , sprach er 

 in der grossen zahlentheoretischen Abhandlung von 1801 die 

 Vermutung aus, dass es unmoglich sein diirfte, allgemeine 

 Gleichungen von hoherem als dem vierten Grad durch Wurzel- 

 grossen aufzulosen. Fur diese Vermutung lieferten Euffini 

 und Abel den strengen Beweis, und diesen Untersuchungen 

 ist es zu danken, dass die fruchtlosen Bemtihungen, auf al- 

 gebraischem Weg zur allgemeinen Auflosung der Gleichungen 

 zu gelaugen, ein Ende erreichten. Dafiir trat die von Abel 

 formulierte Frage in den Vordergrund : Welches sind die 

 Gleichungen gegeben en Grads, diesich algebraisch losen lassen? 



Eine solche Gruppe von Gleichungen bilden eben die 

 Gauss'schcn Kreisteilungsgleichungen. Aber Abel 

 gelangte zu einer wichtigen Veraligemeinerung durch den Satz, 

 dass eine irreducible Gleichung immer dann durch Radikale 

 losbar ist, wenn von zwei Wurzeln derselben die eine sich ra- 

 tional durch die andere ausdriicken lasst, wofern gleichzeitig 

 der Grad der Gleichung eine Primzahl ist; wenn letzteres 

 nicht der Fall ist , so kommt die Auflosung auf die Losung 

 von Gleichungen niedrigeren Grades zuriick. 



In diesen Abel'schen Gleichungen ist also eine wei- 

 tere grosse Gruppe von algebraisch losbaren Gleichungen 

 irgend eines Grades abgegrenzt. Aber die Frage nach den 

 notwendigen und hinreichenden Bedingungen fur die algebra- 

 ische Lb'sbarkeit einer Gleichung fand ihre Beantwortung erst 

 durch den jugendlichen Galois, dessen Untersuchungen in 

 dem Satze gipfeln : Ist der Grad einer irreducibeln Gleichung 

 eine Primzahl, so ist diese Gleichung uriter alleiniger An- 

 wendung von Wurzelgrossen losbar, sobald die Wurzeln 

 dieser Gleichung aus zwei gegebenen unter ihnen sich ra- 

 tional herleiten lassen. 



