128 HI. Allgemeine Arithmetik und Algebra. 



der Zeit an zu verzeichnen, als man die Auflosung der Glei- 

 chung fiinften Grads mit der Lehre von den elliptischen 

 Funktionen in Verbindung setzte 67 ). Mit Hilfe von Trans- 

 formationen, wie sie einerseits von TscMrnhaus, andererseits 

 von E. S. Bring (1786) angegeben worden sind, kann man 

 es err-eichen, dass die Wurzeln der Gleicbung fiinften Grads 

 nur von einer einzigen Grosse abh'angig erscbeinen, dass also 

 der Gleichung nacb Hermite die Form t 6 t A = bei- 

 gelegt werden kann. Durcb Riemann'sche Methoden wird 

 die Abhangigkeit der Wurzeln dieser Gleichung von dem 

 Parameter A veranscbaulicbt ; andererseits ist es moglich, 

 durch Potenzreiben diese fiinf Wurzelwerte mit beliebigem 

 Grad der Annaherung zu berechnen. Im Jahr 1858 losten 

 Hermite und Kronecker die Gleicbung funften Grads durcb 

 elliptiscbe Funktionen, aber obne Beziebung zur algebraischen 

 Theorie dieser Gleicbung, wabrend Klein zu einer moglicbst 

 einfacben Losung durcb transcendente Funktionen unter Be- 

 nutzung der Theorie des IJcosaeders gelangte. 



So ist also die Auflosung von allgemeinen Gleichungen nten 

 Grads fiir n >> 4 durch transcendente Funktionen moglich geworden, 

 und die hiebei vorkommenden Operationen sind folgende *) : Auflosung 

 von Gleichungen niedrigeren Grads; Losung von linearen Differential - 

 gleichungen mit bekannten singularen Punkten; Bestiminung der 

 Integrationskonstanten durch JBerechnung von Periodicitatsmoduln 

 hyperelliptischer Integrale, fiir welche die Verzweigungspunkte der 

 zu integrierenden Funktion bekannt sind ; endlich die Berechnung von 

 Thetafunktionen mehrerer Veranderlichen fiir besondere Werte der 

 Argumente. 



Die Durchfuhrung der zur vollstandigen Losung einer 

 algebraischen Gleichung fuhrenden Methoden ist in vielen 

 Fallen zeitraubend und muhsam ; deswegen besitzen die 

 Anweisungen zur genaherten Bestimmung reeller 

 Wurzelwerte eine nicht zu unterschatzende Bedeutung, 



*) L i n d e m a n n , s. Fortschritte 1884. 



