Dritte Periode. Differentialgleichungen. 137 



forderte die Theorie der Differentialgleichungen erster Ordnung. 

 Es handelte sich darum, unbekannte Funktionen 20 ) so zu be- 

 stimmen , dass ein Integral, welches diese Funktionen und 

 deren Differentialquotienten auf vorgeschriebene Weise ent- 

 halt, ein Maximum oder Minimum erreiche. Die Bedingung 

 hiefiir bildet das Verschwinden der ersten Variation des In- 

 tegrals, was wieder seinen Ausdruck in Differentialgleichungen 

 findet, aus welchen sich die unbekannten Funktionen be- 

 stimmen. Urn aber entscheiden zu konnen, ob ein wirkliches 

 Maximum oder Minimum eintritt, ist es notig, die zweite 

 Variation auf eine zur Untersuchung ihres Zeichens geeignete 

 Form zu bringen. Dies fiihrt auf neue Differentialgleichungen, 

 welche Lagrange nicht zu losen vermochte , von denen aber 

 Jacobi imstande war zu zeigen, dass ihre Integration aus der 

 Integration der zur ersten Variation gehorigen Differential- 

 gleichungen abgeleitet werden kann. Jacobi hatte den be- 

 sonderen Fall eines einfachen Integrals mit einer unbekannten 

 Funktion untersucht; seine Angaben sind von Hesse voll- 

 standig bewiesen worden. Die allgemeine Untersuchung der 

 zweiten Variation unternahm Clebsck, und ihm gelang es 

 sogar fur den Fall vielfacher Integrale zu zeigen, dass zur 

 Reduktion der zweiten Variation neue Integrale nicht erfor- 

 derlich sind. Clebsch forderte auch, einigen Andeutungen 

 Jacobus folgend, die Losung des Pfaffschen Problems, indem 

 er es auf Systeme gleichzeitiger linearer partieller Diffe- 

 rentialgleichungen zuriickfuhrte , deren Angabe ohne Inte- 

 gration moglich ist. Von anderen Untersuchungen ist eine 

 der wichtigsten die Aufstellung der Gleichung 



auf welche ftirichlet bei seinen Arbeiten uber das Potential 

 gestossen war. Die neueren Jntersuchungen uber Differen- 

 tialgleichungen, besonders dber lineare, von Fuchs, Klein 



