140 HI- Allgemeine Arithmetik und Algebra. 



und vierten Grads; aber keine dieser Arbeiten lasst ahnen, 

 dass man es hier mit den Anfangen einer die gesamte Al- 

 gebra beherrschenden Disciplin zu thun hat 60 ). Bestimmtere 

 Gestaltung nehmen die sich entwickelnden Ideen unter den 

 Handen Euler's und Legendre's an. Nachdem lange Zeit die 

 Kreisfunktionen (sin x, cos a?, . . .), ferner der Logarithmus, 

 insbesondere fur analytische Zwecke der hyperbolische Lo- 

 garithmus mit der Basis e und als darin eingeschlossen die 

 Exponentialfunktion e x die einzigen bekannten transcendenten 

 Funktionen gewesen waren, suchte man einerseits besondere 

 transcendente Funktionen grundlich zu studieren dies ge- 

 schah durch Legendre, Jacobi und Abel ; - - andererseits die 

 allgemeine Theorie der Funktionen einer imaginaren Variabeln 

 auszubilden , und auf diesem Gebiet erzielten Gauss, Cauctiy 

 Dirichlet, Eiemann, Liouville, Fucks, Weierstrass besondere 

 Erfolge. 



Die ersten Anzeich en einer Beschaftigung mit den ellip- 

 tischen Funktionen kniipfen sich an die Bestimmung 

 des Lemniskatenbogens, wie sie namentlich in der Mitte des 

 18. Jahrhunderts versucht wurde. Dabei machte Fagnano 

 die Entdeckung, dass zwischen den Grenzen zweier den Kurven- 

 bogen ausdriickenden Integrale, deren eines den doppelten 

 Wert des andern hat, eine algebraische Beziehung einfacher 

 Natur stattfindet. Es konnte dadurch der Lemniskatenbogen, 

 obwohl eine Transcendente hoherer Art, wie ein Kreisbogen 

 durch geometrische Konstruktion verdoppelt oder halbiert 

 werden 26 ). Die Erklarung dieser merkwiirdigen Erscheinuug 

 gab Euler. Er stellte ein allgemeineres Integral auf als Fag- 

 nano (das sogenannte elliptische Integral erster Gattung), 

 und zeigte, dass zwei solche Integrale in ein drittes der- 

 selben Art vereinigt werden konnen, so dass zwischen den 

 Grenzen dieser Integrale eine einfache algebraische Beziehung 

 stattfindet, ahnlich wie der Sinus der Summe zweier Bogen 

 aus den gleichnamigen Funktionen der einzelnen Bogen al- 



