Dritte Periode. Elliptische Funkiionen. 141 



gebraisch zusammengesetzt werden kann (Additionstheorem). 

 Nur hangt das elliptische Integral nicht bloss von der Grenze, 

 sondern noch von einer andern zur Funktion gehorigen Grosse, 

 deni Mo d ul ab. Wahrend Euler nur Integrate mit gleichem 

 Modnl in Beziehung setzte, betrachteten Landen und Lagrange 

 solche mit verschiedenen Moduln, indem sie zeigten, dass es 

 moglich ist, durch eine einfache algebraische Substitution ein 

 elliptisches Integral in ein anderes derselben Gattung zu ver- 

 wandeln. Immerhin aber ist die Aufstellung des Additions- 

 theorems ein mindestens ebenso hobes Verdienst Euler's wie 

 seine Umgestaltung der Theorie der Kreisfunktionen durcb 

 die Einfiihrung der imaginaren Exponentialgrossen. 



Die Entstehung 1 8a ) der eigentlicben Theorie der ellip- 

 tischen Funktionen und der Thetafunktionen fallt zwi- 

 schen 1811 und 1829. Von Legendre riihren zwei systematische 

 Werke her, die Exercices de calcul integral*, 1811-1816, 

 und die Jacobi und Abel nicht bekannte Theorie des fonctions 

 elliptiquesc, 18251828. Jacobi veroffentlichte 1829 die 

 Fundamenta nova theoriae Functionum Ellipticarum, deren 

 Resultate zum Teil gleichzeitig von Abel gefunden worden 

 waren. Legendre hatte erkannt, dass es sich bei derartigen 

 Untersnchungen um ein en neuen Zweig der Analysis handle 

 und er setzte Jahrzehnte ernster Arbeit daran, ihn zur 

 Entfaltung zu bringen. Ausgehend von dem Integral, das 

 von einer Quadratwurzel vierten Grads in go abh'angt, be- 

 merkte Legendre, dass solche Integrale sich auf kanonische 

 Formen zuruckfuhren lassen. Fur das Radikal wurde 



gesetzt, und die drei wesentlich verschiedenen Gattungen der 

 elliptischen Integrale waren F (cp), E (cp) und TU (9) ; sie hangen 

 ab von der Amplitude cp und dem Modul k, das letzte 

 ausserdem noch von einem Parameter n. 



