142 HI. Allgemeine Arithmetik und Algebra. 



Trotz der schonen Untersuchungen Legendre's iiber 

 elliptische Integrale bot ihre Theorie docli noch mehrere 

 ratselhafte Erscheinungen dar. Man hatte bemerkt , dass 

 der Grad der die Teilung des elliptisclien Integrals be- 

 dingenden Gleichung nicht der Anzalil der Teile wie in der 

 Kreisteilung, sondern dem Quadrat derselben gleich ist. Die 

 Losung dieser und ahnlicher Fragen blieb Jacobi und Abel 

 vorbehalten. Von den vielen fruchtbringenden Ideen dieser 

 zwei hervorragenden Mathematiker sind es namentlich zwei, 

 welche, beiden angehorend, in besonderer Weise die beruhrte 

 Theorie gefordert baben. 



Erstlich bemerkten Abel und Jacobi unabhangig von 

 einander, dass es nicht zweckmassig sei, das elliptische Inte- 

 gral erster Gattung als Funktion seiner Grenze zu untersuchen, 

 wie es seitdem geschehen war, sondern dass man die Betrach- 

 tungsweise umkehren miisse , und die Grenze als Funktion 

 zweier von ihr abhangenden Grossen einzufiihren habe. Anders 

 ausgedruckt : Abel und Jacobi fiihrten statt der inversen die 

 direkten Funktionen ein. Abel nannte sie <];, /, F, und Jacobi 

 sin am, cos am, A am, oder wie man auch wohl schreibt 

 sn, en, dn. 



Ein zweiter erfinderischer Gedanke, der sowohl Jacobi 

 als Abel angehort, ist die Einfuhrung des Imagi- 

 naren in diese Theorie. Wie Jacobi selbst versicherte, 

 war es gerade diese Neuerung, welche die Losung der Ratsel 

 einer friiheren Theorie ermoglichte. Es stellte sich heraus, 

 dass die neuen Funktionen an der Natur der trigonometrischen 

 Funktionen und der Exponentialfunktionen Teii haben. Wah- 

 rend die einen nur fiir reelle, die andern nur fiir imaginare 

 Werte des Arguments periodisch sind, haben die elliptischen 

 FunkUnen zwei Perioden. Es darf wohl bemerkt werden, 

 I, wie allerdings erst durch AbeVs Arbeiten verstandlich 

 geworden ist, schon Gauss zu Anfang des 19. Jahrhunderts 

 das Prinzip der doppelten Periode erkannt hat. 



