Dritte Periode. Elliptische Funktionen. 143 



Von diesen zwei Pundamentalideen ausgehend , batten 

 Jacobi und Abel, jeder in seiner Art, weitere wichtige Bei- 

 trage zur Theorie der elliptischen Funktionen geliefert. 

 Legendre hatte eine Transformation eines elliptischen Inte- 

 grals in ein Snderes von derselben Form angegeben; eine 

 zweite~vori ihm aufgefundene Transformation kannte Jacobi 

 nocb nicht , als dieser nach Ueberwindung bedeutender 

 Schwierigkeiten zu dem wicbtigen Resultat kam, dass sich 

 in der Theorie solcher Funktionen eine Multiplikation aus 

 zwei Transformationen zusammensetzen lasse. 



AM hatte sich den Aufgaben zugewendet, welcbe die 

 Teilung und Multiplikation der elliptischen Integrale betreffen. 

 Das eingehende Studium der doppelten Periodicitat fiihrte 

 ihn zu der Entdeckung, dass die allgemeine Teilung des ellip- 

 tischen Integrals mit beliebiger Grenze immer algebraiscb 

 moglich ist, sobald die Teilung der vollstandigen Integrale 

 als geschehen vorausgesetzt wird. Die Losung des Problems 

 wurde von Abel auf die Lemniskate cjigewendet, und dabei 

 stellte dich lieraus, dass die Teilung der ganzen Lemniskate 

 der Kreisteilung vollig analog ist, und in denselben Fallen 

 wie letztere algebraisch geleistet werden kann. 



Eine andere wichtige Entdeckung AbeTs kam dadurch 

 zustande, dass er in den aus Funktionen mit einfachem Ar- 

 gument abgeleiteten Formeln fur elliptische Funktionen eines 

 vielfachen Arguments den Multiplikator unendlich werden 

 liess. Dadurch entstanden die hochst merkwiirdigen Aus- 

 driicke, welche elliptische Funktionen durch unendliche Reihen 

 oder Quotienten unendlich er Produkte darstellen. 



Bei seinen Untersuchungen liber die Transformation hatte 

 Jacobi angenommen, dass die ursprtingliche Veranderliche 

 durch die neue rational ausdriickbar sei. Abel trat auch in 

 dieses Gebiet ein . unter der allgemeineren Annahme , dass 

 zwischen diesen beiden Grossen eine algebraische Gleichung 

 stattfinde, und das Ergebnis seiner Arbeit war, dass diese 



