144 HI. Allgemeine Arithmetik und Algebra. 



allgemeinere Aufgabe mit Hilfe des von Jacobi vollstandig 

 behandelten besondern Problems gelost werden konne. 



Aber auch einzelne AbeFsche Untersuchungen erfuhren 

 Forderungen durch Jacobi's Arbeiten. Abel hatte die Theorie 

 der allgenaeinen Teilung gegeben, aber die wirkliche Durch- 

 fiihrung erforderte die Aufstellung gewisser symmetrischer 

 Wurzelfunktionen , welche nur im besonderen Fall geleistet 

 werden konnte. Jacobi gab die Losung derselben Aufgabe 

 so, dass die Bildung der erforderlichen Wurzelfunktionen ohne 

 weiteres, und zwar einfacher als bei Abel, geschehen konnte. 

 Als Jacobi dieses Ziel erreicht hatte, stand er schon allein 

 auf dem weiten Feld des neuen Wissenszweigs, denn Abel 

 war kurze Zeit vorher im Alter von nur 27 Jaftren ins 

 Grab gesenkt worden. 



Die spateren Leistungen Jacobi s gipfeln in der Einftihrung 

 der Thetafunktion. Schon Abel hatte die elliptischen 

 Funktionen als Quotienten unendlicher Produkte dargestellt. 

 Diese Produkte konnte Jacobi als spezielle Falle einer ein- 

 zigen Transcendenten darstellen, welche allerdings schon,. 

 friiher franzosischen Mathematikern bei physikalischen Unter- <7 

 suchungen aufgestossen, aber von ihnen vernachlassigt worde^v 

 war. Jacobi erforschte ihre analytische Natur, brachte sie 

 in Zusammenhang mit den Integralen zweiter und dritter 

 Gattung und bemerkte insbesondere, dass die Integrate dritter 

 Gattung, obwohl von drei Elementen abhangig, durch die 



nur zwei Elemente enthaltende neue Transcendente dargestellt 



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 werden konnen. Die Durchfiihrung dieser Berechnung ^JW 



der ganzen Theorie einen hohen Grad von Uebersichtlichk'. 

 und Klarheit ; es konnten nun die elliptischen Funktionen " 

 sn, en, dn als gleichnamige Quotienten der Jacobi' schen neuen 

 Transcendenten 61, 62, 63, @4 dargestellt werden. 



Was Abel in der Theorie der elliptischen Funktionen 

 geleistet hat, ist einehervorragende, jedoch nicht seine grosste 

 Leistung. Die glanzendsten Erfolge erzielte er in der Theorie 



