Dritte Periode. Abel's Theorem. 145 



der nach ihm benannten AbeVsfiher* F p n k *-i oj^ ft n , deren 

 erste Eutwicklung in die Jahre 1826 1832 fallt. 

 AbeVsc7ie Theorem ist von seinem Entdecker in verschie- 

 denen Formen dargestellt worden; den allgemeinsten Aus- 

 druck enthalt der nach des Verfassers Tod von der fran- 

 zosischen Akademie preisgekronte Aufsatz: Memoire sur 

 une propriete generale d'une classe tres-ebendue de fonctions 

 transcendentes (1826). Seiner Form nach ist es ein Problem 

 der Integralrechnung ; die Integrale . hangen ab von einer 

 irrationalen Funktion y, welche mit x durch eine algebraische 

 Gleichung F(x,y) verbunden ist. Abel's Fundamentalsatz 

 sagt aus, dass eine Summe solcher Integrale sich durch eine 

 bestimmte Anzahl p von ahnlichen Integralen ausdrucken 

 lasst, wo p nur von den Eigenschaften der Gleichung 

 F (x,y) = abhangt. (Dieses p ist das Greschlecht der Kurve 

 F(oc, y) ; der Begriff des Geschlechts stammt aber erst 

 aus dem Jahr 1857). Fur den Fall, dass 



+ Cx* + Dx + E, 



ist, fiihrt das Abel'sche Theorem auf Legendre's Satz fiber die 

 Summe zweier elliptischen Integrale. Hier ist p 1. Wird 



y = 



wo auch A = sein kann, so ist p = 2, und so fort. Fiir 

 p 3 oder > 3 sind die hyperelliptischen Integrale nur be- 

 sondere Falle der AbeUschen Integrale gleicher Klasse. 



Nach dem Tode Abel's fuhrte Jacobi diese Betrachtungen 

 in den Considerations generales de transcendentibus Abeli- 

 anis (1832) weiter und zeigte fur hyperelliptische Integrale 

 beliebiger Klasse, dass die direkten Funktionen, auf welche 

 Abel's Satz sich bezieht, nicht Funktionen einer Verander- 

 lichen sind, wie die elliptischen Funktionen sn, en, dn, son- 

 dern Funktionen von p Variabeln. Einzelabhandlungen von 



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