146 HI. Allgemeine Arithmetik und Algebra. 



wesentlicher Bedeutung fiir den Pall p = 2 haben Eosenham 

 (1846) und Goepel (1847) zu Verfassern. 



Bedeutungsvoll fiir die Entwicklung der ganzen Funk- 

 tionentheorie sind zwei auf Gauss und Caucliy fussende 

 Arbeiten Riemann's geworden. Cauchy hatte durch strengere 

 Methoden und die Einf iih.ru ng der imaginaren Variabeln 

 den Grund zu einer wesentlichen Verbesserung und Um- 

 gestaltung der gesarnten Analysis gelegt 63 ). Riemann 

 baute auf diesem Fundamente weiter und schrieb die Grund- 

 lagen fiir eine allgemeine Theorie der Funktionen einer ver- 

 anderlichen komplexen Grosse im Jahr 1851, und die Theorie 

 der Abel'schen Funktionen , welche sechs Jahre spater erschien. 

 Zur Behandlung der AbeTschen Funktionen beniitzt Riemann 

 vielfache Thetafunktionen, deren Theorie auf die allgemeinen 

 Principien der Lehre von den Funktionen einer komplexen 

 Variabeln gegriindet ist. Er geht aus von Integralen algebra- 

 ischer Funktionen allgemeinster Form und betrachtet deren 

 inverse Funktionen, d. h. die Abel'schen Funktionen von p 

 Veranderlichen. Dann wird eine Thetafunktion von p Va- 

 riabeln definiert als Summe einer p-fach unendlichen Exponen- 

 tialreihe, deren allgemeines Glied ausser von den p Variabeln 

 von 3p 3 wesenttichen Moduln abhangt. So lasst sich 

 zeigen, dass die Abel'schen Funktionen einen algebraischen 

 Zusammenhang mit Thetafunktionen geeigneter Argumente 

 haben. 



Auf Grund der Gauss'schen und Abel'schen Arbeiten 

 sowie der Cauchy 'schen Entwicklungen iiber Integrationen 

 in der imaginaren Ebene hat sich eine strengere Rich- 

 tung ausgebildet, welcher Bolzano, Weierstrass, G. Cantor, 

 Heine, Dedekind, P. Dubois-Reymond, Scheefer, Pringsheim, 

 Holder, Pincherle und andere angehoren. Diese strengere 

 Richtung hat ihre Aufgabe namentlich darin gefunden, die 



