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des Winkels und die Aufstellung von Doppelverhaltnissen 

 Bedeutung haben. Von besonderer Wichtigkeit 1st die archi- 

 medische Kreismessung, in welcher fur TU die Grenzen 3f und 

 3^ angegeben werden. Diese wie viele andere Resultate 

 leitet Archimedes durch die Exhaustionsmethode ab, 

 die bei den Alten in der Regel an Stelle der modernen In- 

 tegration trat 19 ). Die gesuchte Grosse , z. B. die von einer 

 Kurve umschlossene Flache, konnte als Grenzwert fiir den 

 Inhalt ein- und umbeschriebener Polygone, deren Seitenzahl 

 durch Halbierung stets vermehrt wurde, betrachtet werden, 

 und man bewies, dass der Unterschied zweier benachbarten 

 Polygone bei unbegrenzter Fortsetzung dieses Verfahrens 

 kleiner werden muss als eine beliebig kleine gegebene Grosse ; 

 dieser Unterschied wurde also gleichsam erschopft und so 

 das Resultat durch Exhaustion gewonnen. 



Das Gebiet elementargeometrischer Konstruktionen erfuhr 

 durch Apollonius eine Bereicherung in der Losung der Auf- 

 gabe, einen Kreis zu konstruieren, der drei gegebene Kreise 

 beruhrt, und durch die systematische Durchfiihrung des 

 Diorismus (der Abgrenzung oder Umgrenzung) auch bei 

 schwierigeren Aufgaben in seinen Kegelschnitten, aus welch en 

 zu ersehen ist, dass Apollonius nicht bloss die Bedingungen 

 fiir die Moglichkeit der Losung uberhaupt angibt, sondern 

 insbesondere die Grenzen von Losungen bestimmt wissen will. 



Von Zenodorus haben sich mehrere Satze liber Figuren 

 gleichen Umfangs erhalten ; er spricht beispielsweise aus, dass 

 der Kreis einen grosseren Inhalt hat als jedes regulare Viel- 

 eck von gleichem Umfang, dass unter alien isoperimetrischen 

 Polygonen gleicher Seitenzahl das regulare den grossten In- 

 halt hat, und ahnliches. - - Hypsikles hat als Neues die Ein- 

 teilung des Kreisumfangs in 360 . - - Von Heron stammt 

 ein Buch iiber Geometrie (nach Tannery ein Kommentar zu 

 Euklid's Elementen), welches sich in ausgedehnter Weise mit 

 der Berechnung ebener Figuren befasst. Hier findet sich fiir 



