Zweite Period e. Die Griechen. 159 



sich. Damit 1st die elementare Theorie der Kegelschnitte 

 bei Apollonius abgeschlossen. Die nun folgenden Biicher 

 enthalten Einzeluntersuchungen als Anwendung der in den 

 vier ersten Buchern entwickelten Methoden. So handelt das 

 ftinfte Buch von den kfirzesten und langsten Linien, welche 

 von einem Punkt nach dem Umfang eines Kegelschnitts ge- 

 zogen werden konnen , also von den Normalen durch einen 

 beliebigen Punkt in der Ebene der Kurve zweiter Ordnung; 

 das sechste von gleichen und ahnlichen Kegelschnitten , das 

 siebente in besonderer Weise von den Parallelogrammen, die 

 aus konjugierten Durchmessern konstruiert werden konnen, 

 und von dem Satz fiber die Summe der Quadrate konjugierter 

 Durchmesser. Das aehte Buch enthielt nach Halley eine 

 Reihe von Aufgaben, die sich an Hilfssatze des siebenten 

 Buchs aufs engste anschlossen. 



Die erste Anregung zur Entwicklung der Lehre von den 

 Kegelschnitten wird bis auf Hippocrates zuriickgeleitet 124 ); 

 dieser fuhrte das Theorem der Wurfelverdopplung auf die 

 Konstruktion von zwei mittleren Proportionen x und y zu 

 zwei gegebenen Strecken a und b zuriick : 



fl 1* W 



-=- -y gibt x 2 = ay, y 2 = boa , woraus folgt : 

 oc y o 



x z = a*b . a 3 = m . a 3 . 

 a 



Archytas und Eudoxus scheinen durch Konstruktion in der 

 Ebene Kurven gefunden zu haben , welche den obigen Be- 

 ziehungen gentigten, aber sich von Kreisen und Geraden unter- 

 schieden. Mendchmus suchte fur die schon aus ebenen Kon- 

 struktionen bekannten neuen Kurven eine Darstellung durch 

 Schnitte an Rotationskegeln und wurde in diesem Sinne der 

 Entdecker der Kegelschnitte. Er bentitzte nur Schnitte senk- 

 recht zu einer Erzeugenden eines geraden Kreiskegels, und es 

 war die Parabel der Schnitt am rechtwinkligen Kegel 



