160 IV. Geometrie. 



(dessen erzeugender Winkel = 45 1st) , die Ellipse der 

 Sehnitt am spitzwinkligen Kegel, dieHyperbel der Schnitt 

 am stumpfwinkligen Kegel. Diese Namen gebraucht auch 

 Archimedes noch , obwohl er weiss , dass die drei Kurven 

 sich an jedem Kreiskegel durch ebene Schnitte erzeugen 

 lassen. Erst Apollonius fiihrt die Namen Ellipse , Parabel, 

 Hyperbel ein. Schon Mendchmus vielleicht, jedenfalls 

 aber Archimedes bestimmte die Kegelschnitte durch eine lineare 

 Gleichung zwischen Flachen, welche sich in der Form y^ = kxxi 

 darstellen lasst. Der halbe Parameter war bei Archimedes 

 und wohl auch schon bei seinen Vorgangern das Stiick bis zur 

 Axe, d. h. das Stiick der Kegelschnittsaxe vom Scheitel der 

 Kurve bis zum Schnitt mit der Achse des Kegels. Die Be- 

 nennung Parameter ruhrt von Desargues (1639) her 5a ). 



Es ist nachgewiesen worden m ), dass Apollonius die Kegelschnitte 

 durch eine Gleichung von der Form y 2 = px -j- # 2 darstellte, x und y 

 als Parallelcoordinaten betrachtet und jedes Glied als eine Flache 

 dargestellt. Daraus wurden andere Gleichungen ersten Grads zwischen 

 Flachen abgeleitet und so analytisch-geometrische Gleichungen unter 

 Benutzung einesParallelcoordinatensystems erhalten, dessen Anfangs- 

 punkt durch geometrische Betrachtungen eine Verlegung gestattete, 

 gleichzeitig verbunden mit einer Vertauschung der Axen, so dass hier 

 schon einzelne Grundgedanken der fast 2000 Jahre jiingeren analy- 

 tischen Geometrie sich offenbaren. 



Das Stadium der Kegelschnitte erfolgte stets nur so lange 

 auf dem Kegel selbst , bis eine planimetrische Grundeigen- 

 schaft die Moglichkeit zuliess, die weitere Untersuchung in 

 der Ebene vorzunehmen 124 ). Auf diese Weise war bis Archi- 

 medes eine Reihe wichtiger S'atze bekannt geworden , so die 

 Lehre von den konjugierten Durchmessern und die Beziehung 

 der Kegelschnitte auf sie als Axen mit Hilfe von Gleichungen 

 ersten Grads zwischen Flachen, so auch der sogenannte 

 Newton'sche Potenzsatz, also der Satz, dass die Rechtecke 

 aus den Abschnitten zweier durch einen beliebigen Punkt 

 in vorgeschriebener Richtung gezogenen Sekanten eines 



