162 IV". Geometrie. 



endliche Anzahl von Operationen mit Hilfe von Zirkel und Lineal 

 ein regulares w-Eck nur dann zu konstruieren gestatten, wenn 

 n 1 = 2^ (p eine beliebige ganze Zahl) 1st. Die dritte 

 Aufgabe endlich reicht uber das Gebiet der eigentlichen Al- 

 gebra hinaus, denn Lindemann*) hat im Jahr 1882 gezeigt, 

 dass TU nicht Wurzel einer algebraischen Gleichung mit ganz- 

 zahligen Coefficienten sein kann. 



Die Multiplikation des Wurfels, algebraisch gesprochen 

 die Bestimmung von x aus der Gleichung 



& B H 



x 3 . a s m . a 3 , 

 a 



heisst auch die Delische Aufgabe, weil Platon mit den 

 Deliern iiber diese Aufgabe in Meinungsaustausch gestanden 

 sein soil. Mit der Losung dieser Aufgabe beschaftigten sich 

 besonders Platon, Archytas und Menachmus; letzterer loste 

 sie durch Kegelschnitte (Hyperbeln und Parabeln). Apotto- 

 nius konstruierte zum gleichen Zweck einen besonderen 

 mechanischen Apparat. 



Unter den Losungen iiber die Dreiteilung des Winkels 

 ragt das Verfahren des Archimedes hervor. Es bietet ein 

 Beispiel dar fur sogenannnte Einschiebungen, deren sich 

 die Griechen bedienten, wenn eine Aufgabe nicht durch 

 Lineal und Zirkel losbar war. Des Archimedes' Verfahren 

 besteht in folgendem: Soil der Bogen AS des Kreises vom 

 Mittelpunkt M in drei gleiche Teile geteilt werden, so zieht 

 man den Durchmesser AE, und durch S eine Sekante, welche 

 den Kreis in C und den Durchmesser AE in D derart 

 schneidet, dass CD gleich dem Halbmesser r des Kreises wird. 

 Es ist dann Bogen CE = J- AS. Die Ausfiihrung besteht 

 nach den Regeln der Einschiebung darin, dass man auf einem 

 Streifen eine Lange = r abtragt und denselben dvrch B 



*) Mathem. Annalen, XX, S. 213. 



