164 IV. Oeometrie. 



trischen Behandlung sich als abhangig von Gleichungen ersten 

 oder zweiten Grads zwischen Strecken erwiesen, die also durch 

 einfache Flachenanlegung, das griechische Ersatzmittel fiir 

 die Auflosung der quadratischen Gleichung, gelost werden 

 konnten. Die von Gleichungen dritten Grads zwischen Strecken 

 abhangigen Aufgaben fuhrten auf die Verwendung von Ge- 

 bilden mit drei Dimensionen, wie z. B. die Wiirfelverdopplung, 

 und wurden als korperliche Aufgaben bezeichnet ; die zu ihrer 

 Losung dienenden Oerter (die Kegelschnitte), waren korperliche 

 Oerter. Erst in einer Zeit, wo die Bedeutung des eben 

 und korperlich vergessen war, entstand der Name lineare 

 Aufgaben fur solche, deren Behandlung (durch lineare 

 Oerter) auf Gleichungen fiihrt, die nicht mehr vom ersten, 

 zweiten oder dritten Grad sind, welche sich also nicht mehr 

 als lineare Beziehungen zwischen Strecken , Flachen oder 

 Rauminhalten darstellen lassen. 



Von linearen Oertern verwendet Hippias die viel- 

 leicht von Dinostratus erfundene Quadratrix zur Dreiteilung 

 des Winkels und zur Quadratur des Kreises (s. S. 152). 

 Eudoxus kennt die Schnitte des Kreiswulstes , welche durch 

 Ebenen parallel der Axe der Wulstflache entstehen , insbe- 

 sondere die Hippopede oder Achterkurve 72 ). Besondere Be- 

 riihmtheit erlangten die Spiralen des Archimedes, deren Be- 

 trachtung seinen schonen Untersuchungen fiber die Quadratur 

 der Parabel wurdig an die Seite tritt. 



Schon Konon hatte die Archimedische Spirale durch 

 die Bewegung eines Punktes erzeugt , der sich mit gleich- 

 formiger Geschwindigkeit auf dem Halbmesser OA eines 

 Kreises ~k von aus entfernt, wahrend sich OA ebenfalls 

 gleichformig um dreht. Aber erst Archimedes entdeckte 

 einige der schonen Eigenschaften dieser Kurve ; er fand, dass 

 wenn nach einmaligem Umlauf die Spirale dem Kreis k vom 

 Halbmesser OA in S begegnet (wo BO Tangente der Spirale 

 in ist), die von J50 und der Spirale begrenzte Flache ein 



