Vierte Periode. Von Gerbert bis Descartes. 175 



Schlussrechnen der Pestalozzi' schen Schule mehr und mehr in den 

 Hintergrund, und in der Folge erschien statt der goldenen Begel, 

 die kein Reckenbuch mehr kannte, in den Elementarbuchern der 

 Geometric urn die Mitte des 19. Jahrhunderts ein goldener Schnitt*, 

 wohl unstreitig im Zusammenhang mit gleichzeitigen Bestrebungen, 

 welche daraaf abzielten, dieser geometrischen Konstruktion die Wich- 

 tigkeit eines Naturgesetzes beizumessen. 



Besonders studierte Keppler, veranlasst durch seine astro- 

 nomisclien Spekulationen , die regularen Vielecke und 

 Sternpolygone. Keppler spricht schon von Gruppen 

 elementar konstruierbarer regularer Vielecke, nemlich von 

 den Reihen der Polygone mit den Seitenzahlen 4.2", 3 . 2", 

 5.2 n , 15.2" (von n= an) und sagt, dass ein regulares 

 Siebeneck nicht mit Hilfe des Kreises und der Geraden allein 

 konstruierbar sei. Unzweifelhaft ist auch, dass Keppler 

 fiber die Kegelschnitte des Apollonius gut unterrichtet und 

 in der Losung von Aufgaben mit Hilfe dieser Kurven erfahren 

 war. Bei ihm findet sich zum ersten Mai die Bezeichnung 

 Brennpunkte fur die Punkte der Kegelschnitte, welche der 

 fruhere Sprachgebrauch als puncta ex comparatione, puncta 

 ex applicatione facta , umbilici oder Pole bezeichnet 

 hatte*); ferner die Benennung Excentricitat ftir das Ver- 

 haltnis des Abstandes eines Brennpunktes vom Mittelpunkt 

 zur grossen Halbaxe der Kurve zweiter Ordnung , und der 

 Name excentrische Anomalie fiir den Winkel POA, wo 

 OA die grosse Halbaxe einer Ellipse ist, und P der Punkt, 

 in welchem die zum Kurvenpunkt P gehorige Ordinate den 

 Kreis tiber der grossen Axe triift Ba ). 



Auch durch stereometrische Untersuchungen , welche in 

 bescheidenem Grad von Diirer und Stifel betrieben worden 

 waren, ragt Keppler iiber seine Zeitgenossen hervor. In seiner 

 Harmonice Mundi handelt er nicht bloss von den fiinf regu- 

 laren platonischen und dreizehn halbregularen archimedischen 



*) C. Taylor in Cambr. Proc. IV. 



