180 'IV. Geometrie. 



Zu den Vorgangern Descartes' gehoren ausser Apollonim 

 insbesondere Viete, Oresme, Cavalieri, Eoberval und Fermat, 

 der bedeutendste uriter ihnen auf diesem Gebiet ; aber nirgends, 

 auch von Fermat nicbt, war ein Versuch gemacht worden, 

 mehrere Kurven verschiedener Ordnung gleichzeitig auf ein 

 Coordinatensystem zu beziehen, das hochstens fur eine der 

 krummen Linien spezielle Bedeutung hatte, und gerade dies 

 hat Descartes systematisch gethan. 



Der Gedanke, durch welchen Descartes die arithmetischen 

 Gesetze der Geometrie dienstbar gemacht, wird von ihm selbst 

 folgendermassen ausgesprochen 74 ) : 



Alle Probleme der Geometrie lassen sich auf Ausdriicke 

 reduzieren, die man konstruieren kann, wofern die Lange von 

 nur einigen Strecken bekannt ist. Und da die ganze Arith- 

 metik nur vier oder funf Operationen umfasst, nemlich die 

 Addition, die Subtraktion, die Multiplikation , die Division 

 und das Wurzelausziehen, das man als eine gewisse Art der 

 Division betrachten kann, so hat man in der Geometrie, um 

 die gesuchten Linien zu finden, nur folgendermassen zu ver- 

 fahren : Man addiert zum gegebenen Ausdruck andere be- 

 kannte Strecken , oder subtrahiert dieselben von ihm ; oder 

 man wahlt, um die Beziehung zu den Zahlen noch auffalliger 

 zu machen, eine beliebige Strecke als Einheit. Sucht man 

 dann zu dieser und zwei andern gegebenen Strecken eine 

 vierte, welche sich zu einer der beiden verhalt, wie die an- 

 dere zur Einheit, so hat man dasselbe gethan wie bei der 

 Multiplikation*); oder aber man sucht eine vierte Strecke, 

 welche sich zu einer der beiden gegebenen verhalt wie die 

 Einheit zur andern **), so hat man dividiert ; oder man sucht 

 eine oder zwei oder mehrere mittlere Proportionate zur Ein- 

 heit und irgend einer andern Strecke, so hat man die zweite, 



*) c:a===b: 1, c = ab. 

 **) c : a = 1 : b, c = a : b. 



