Fiinfte Periode. Descartes' analytische Geometrie. 181 



dritte, . . . Wurzel ausgezogen *). Ich scheue mich nicht, 

 diese Ausdriicke der Arithmetik in die Geometrie einzufiihren, 

 um mich bestimmter ausdriicken zu konnen. Man moge be- 

 merken, dass ich unter a 2 , b s und ahnlichen Grossen fiir ge- 

 wohnlich einfache Strecken verstehe , und ich nenne sie nur 

 Quadrat oder Kubus, um mich der gelaufigen algebraischen 

 Ausdriicke zu bedienen. (Es ist a 2 die dritte Proportionate 

 zur Einheit und a, oder 1 : a = a : a 2 , und ahnlich b :& 2 = b z : 6 3 ), 

 Diese Betrachtungsweise arithmetischer Ausdriicke hat 

 die von Descartes gemachten geometrischen Entdeckungen 

 wesentlich beeinflusst. Wie schon ApoUonius Punkte eines 

 Kegelschnitts durch parallele Sehnen nebst deren in der 

 Rich tun g des konjugierten Durchmessers gerechneten Ab- 

 standen von einer demselben System angehorigen Tangente 

 bestimmt, so ist bei Descartes jeder Punkt einer Kurve der 

 Schnitt zweier Geraden. ApoUonius und alle seine Nachfolger 

 verwenden jedoch solche Scharen paralleler Geraden nur zu- 

 fallig und stets nur in der Absicht, eine bestimmte Eigen- 

 schaft der Kegelschnitte besonders deutlich hervortreten zu 

 lassen ; Descartes dagegen lost diese Systeme paralleler Ge- 

 raden von den Kurven los , weist ihnen eine selbstandige 

 Existenz zu und erreicht so fiir jeden Kurvenpunkt eine Be- 

 ziehung zweier Strecken vorgegebener Richtung, die nichts 

 weiter ist als eine Gleichung, und das geometrische Studium 

 der Eigenschaften dieser Kurve kann durch die Untersuchung 

 der Gleichung nach den Methoden der Algebra ersetzt werden. 

 Die fundamentalen Elemente zur Bestimmung eines Kurven- 

 punkts sind seine Coordinaten, und durch langst bekannte 

 S'atze war evident, dass ein Punkt der Ebene durch zwei, 

 ein Punkt des Raumes durch drei Coordinaten festgelegt 

 werden kann. 



Descartes' Geometrie ist nicht etwa ein Lehrbuch der 



*) \:a = a:b==b:c = c:cl... gibt a= 



