Funfte Periode. Projektive Geometrie. 193 



Keppler-Poinsof schen regularen Korper hoherer Art, nem- 

 lich die vier Sternpolyeder , welche zu je zweien aus dem 

 Dodekaeder und Ikosaeder entspringen. Die Fortsetzung 

 dieser Betrachtungen erfolgte dnrch Wiener, Hessel und Hess 

 unter Aufhebung gewisser beschrankender Voraussetzungen, 

 so dass eine ganze Reihe von Korpern, welche in weiterem 

 Sinn als regelmassig gelten konnen, den oben genannten sich 

 angliedern lasst. Entsprechende Studien fur den vierdimen- 

 sionalen Raum sind von Scheffler, Rudel, Stringham, Hoppe, 

 Schlegel angestellt worden. Sie haben ergeben, dass in einem 

 solchen Raum sechs regelmassige Gebilde existieren, von 

 denen das einfachste als Begrenzung funf Tetraeder aufzuweisen 

 hat. Die Umgrenzung der iibrigen ftinf Gebilde erfordert 

 beziehungsweise 16 oder 600 Tetraeder, 8 Hexaeder, 24 Ok- 

 tae'der, 120 Dodekaeder 95 ). Noch mag erwahnt sein, dass 

 im Jahr 1849 durch E. F. August das Prism a to id in die 

 Stereometric eingefuhrt wurde, und dass Schubert und StoU 

 das Apollonische Beruhrungsproblem so verallgemeinerten, 

 dass sie die Konstruktion der sechzehn Bertihrungskugeln zu 

 vier gegebenen Kugeln anzugeben vermochten. 



Die projektive Geometrie, wohl auch weniger 

 bezeichnend nenere Geometrie oder Geometrie der Lage ge- 

 nannt, ist im wesentlichen eine Schopfung des 19. Jahrhun- 

 derts. Die Descartes' sche analytische Geometrie hatte im 

 Verein mit der von Leibniz und Newton geschaffenen hoheren 

 Analysis eine Reihe wichtiger Entdeckungen im Gebiet der 

 Raumlehre zu verzeichnen gehabt ; allein sie war nicht dazu 

 angethan, fur rein geometrische Satze einen befriedigenden 

 Beweis zu fuhren. Beziehungen spezifisch geometrischer 

 Art batten sich aber namentlich im konstruktiven Zeichnen 

 auffinden lassen. Auch Newton's Aufstellung seiner funf 

 Haupttypen von Kurven dritter Ordnung, als deren Projektion 

 die vierundsechzig iibrigen Typen aufgefasst werden konnen, 



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